Chúng ta sẽ tính giá trị của biểu thức \( A = (3 + 1)(3^2 + 1)(3^4 + 1) \cdots (3^{20} + 1) + 1 \).

Để tính nhanh, chúng ta nhận xét rằng mỗi yếu tố trong biểu thức đều có dạng \( 3^{2^k} + 1 \), với \( k \) là số tự nhiên từ 0 đến 20.

Ta có:
\[
(3 + 1)(3^2 + 1)(3^4 + 1)(3^8 + 1)(3^{16} + 1)
\]

Để đơn giản hóa, ta sử dụng tính chất liên quan đến chuỗi nhị phân. Chúng ta biết rằng:
\[
3^{2^k} + 1 = \frac{3^{2^{k+1}} - 1}{3^{2^k} - 1}
\]
Khi nhân tất cả các yếu tố lại, ta có:
\[
(3 + 1)(3^2 + 1)(3^4 + 1)(3^8 + 1)(3^{16} + 1) = \frac{3^{2^{1 + 1}} - 1}{3 - 1} = \frac{3^{32} - 1}{2}
\]

Vì vậy, ta có:
\[
A = \frac{3^{32} - 1}{2} + 1
\]
\[
A = \frac{3^{32} - 1 + 2}{2} = \frac{3^{32} + 1}{2}
\]

Như vậy, kết quả cuối cùng là:
\[
A = \frac{3^{32} + 1}{2}
\]