Để tính độ dài các đoạn thẳng DE, DF, AE, CE, AF và BF trong hình chữ nhật ABCD, ta có thể làm như sau:

- Đặt A(0, 0), B(8, 0), C(8, 6), D(0, 6). Khi đó:
- Đoạn AC có tọa độ lần lượt là A(0, 0) và C(8, 6).
- Đoạn AD có tọa độ A(0, 0) và D(0, 6).

1. **Tính độ dài đoạn AC:**

\[
AC = \sqrt{(8-0)^2 + (6-0)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \text{cm}
\]

2. **Tìm phương trình đường thẳng AC:**
- Trong trường hợp này, độ dốc (slope) của AC:
\[
\text{slope} = \frac{6-0}{8-0} = \frac{3}{4}
\]
- Phương trình AC là:
\[
y = \frac{3}{4}x
\]

3. **Tìm phương trình đường thẳng vuông góc với AC tại E:**
- Độ dốc của đường thẳng vuông góc với AC là:
\[
-\frac{4}{3}
\]
- Phương trình đường thẳng đi qua D(0, 6) là:
\[
y - 6 = -\frac{4}{3}(x - 0) \Rightarrow y = -\frac{4}{3}x + 6
\]

4. **Tìm điểm E bằng cách giải hệ phương trình:**
- Giải phương trình:
\[
\frac{3}{4}x = -\frac{4}{3}x + 6
\]
- Nhân cả hai bên với 12 (bội chung nhỏ nhất):
\[
9x = -16x + 72 \Rightarrow 25x = 72 \Rightarrow x = \frac{72}{25}
\]
- Thay x vào phương trình của AC để tìm y:
\[
y = \frac{3}{4} \cdot \frac{72}{25} = \frac{216}{100} = \frac{54}{25}
\]
- Tọa độ E là \( E\left(\frac{72}{25}, \frac{54}{25}\right) \).

5. **Tính tọa độ F:**
- F là giao điểm của đoạn DF và AB, phương trình là y = 0:
\[
0 = -\frac{4}{3}x + 6 \Rightarrow \frac{4}{3}x = 6 \Rightarrow x = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}
\]
- Tọa độ F là \( F \left(\frac{9}{2}, 0\right) \).

6. **Tính các đoạn thẳng:**
- **Độ dài DE:**
\[
DE = \sqrt{\left(\frac{72}{25} - 0\right)^2 + \left(\frac{54}{25} - 6\right)^2}
\]
- Tính:
\[
DE = \sqrt{\left(\frac{72}{25}\right)^2 + \left(-\frac{96}{25}\right)^2} = \sqrt{\frac{5184 + 9216}{625}} = 10 \text{cm}
\]

- **Đoạn DF:**
\[
DF = \sqrt{\left(\frac{9}{2} - 0\right)^2 + (0 - 6)^2} = \sqrt{\left(\frac{9}{2}\right)^2 + (-6)^2} = \sqrt{\frac{81}{4} + 36} = \sqrt{\frac{81 + 144}{4}} = \frac{15}{2} \text{cm}
\]

- **Đoạn AE:**
- Tính:
\[
AE = \sqrt{ \left(\frac{72}{25} - 0\right)^2 + \left(\frac{54}{25} - 0\right)^2} = \sqrt{\frac{72^2 + 54^2}{625}} = \sqrt{\frac{5184 + 2916}{625}} = \frac{10\sqrt{100}}{25} = 4 \text{cm}
\]

- **Đoạn CE:**
- Tính:
\[
CE = \sqrt{ \left(\frac{72}{25} - 8\right)^2 + \left(\frac{54}{25} - 6\right)^2}
\]

- **Đoạn AF:**
- Tính:
\[
AF = \frac{9}{2} \text{cm}
\]

- **Đoạn BF:**
- Tính:
\[
BF = 8 - AF = \frac{7}{2} \text{cm}
\]

Vậy độ dài các đoạn thẳng là:
- DE = 10 cm
- DF = \(\frac{15}{2}\) cm
- AE = 4 cm
- CE = \(\sqrt{64}\) cm
- AF = \(\frac{9}{2}\) cm
- BF = \(\frac{7}{2}\) cm