Để tìm tất cả các số nguyên tố \( p \) sao cho \( 5p + 1 \) là số lập phương, ta đặt \( 5p + 1 = n^3 \) với \( n \) là một số nguyên.

Từ đó, ta có:

\[
5p = n^3 - 1
\]
\[
p = \frac{n^3 - 1}{5}
\]

Điều này yêu cầu \( n^3 - 1 \) phải chia hết cho 5.

### Bước 1: Tìm hệ số modulo 5

Ta xem xét các giá trị của \( n \) modulo 5:

- Nếu \( n \equiv 0 \mod 5 \) thì \( n^3 \equiv 0 \mod 5 \) và \( n^3 - 1 \equiv -1 \mod 5 \) (không chia hết cho 5)
- Nếu \( n \equiv 1 \mod 5 \) thì \( n^3 \equiv 1 \mod 5 \) và \( n^3 - 1 \equiv 0 \mod 5 \) (chia hết cho 5)
- Nếu \( n \equiv 2 \mod 5 \) thì \( n^3 \equiv 3 \mod 5 \) và \( n^3 - 1 \equiv 2 \mod 5 \) (không chia hết cho 5)
- Nếu \( n \equiv 3 \mod 5 \) thì \( n^3 \equiv 2 \mod 5 \) và \( n^3 - 1 \equiv 1 \mod 5 \) (không chia hết cho 5)
- Nếu \( n \equiv 4 \mod 5 \) thì \( n^3 \equiv 4 \mod 5 \) và \( n^3 - 1 \equiv 3 \mod 5 \) (không chia hết cho 5)

### Bước 2: Giải phương trình

Từ kết quả trên, ta thấy chỉ có \( n \equiv 1 \mod 5 \) là thích hợp. Ta có thể thử các giá trị của \( n = 1, 6, 11, \ldots \) để tìm các giá trị nguyên tố cho \( p \):

1. **Với \( n = 1 \)**:
\[
p = \frac{1^3 - 1}{5} = 0 \quad (\text{không phải số nguyên tố})
\]

2. **Với \( n = 6 \)**:
\[
p = \frac{6^3 - 1}{5} = \frac{216 - 1}{5} = \frac{215}{5} = 43 \quad (\text{số nguyên tố})
\]

3. **Với \( n = 11 \)**:
\[
p = \frac{11^3 - 1}{5} = \frac{1331 - 1}{5} = \frac{1330}{5} = 266 \quad (\text{không phải số nguyên tố})
\]

4. **Với \( n = 16 \)**:
\[
p = \frac{16^3 - 1}{5} = \frac{4096 - 1}{5} = \frac{4095}{5} = 819 \quad (\text{không phải số nguyên tố})
\]

Tiếp tục kiểm tra các giá trị lớn hơn:

- **Với \( n = 21 \)**:
\[
p = \frac{21^3 - 1}{5} = \frac{9261 - 1}{5} = \frac{9260}{5} = 1852 \quad (\text{không phải số nguyên tố})
\]

Vì vậy, sau khi kiểm tra, ta chỉ tìm thấy một số nguyên tố là \( p = 43 \).

### Kết luận

Số nguyên tố duy nhất \( p \) thỏa mãn điều kiện \( 5p + 1 \) là số lập phương là:
\[
\boxed{43}
\]