Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta có thể thực hiện như sau:

### Giả thiết
- Cho góc nhọn \(xOy\).
- Điểm \(A\) thuộc tia \(Ox\) và điểm \(B\) thuộc tia \(Oy\) sao cho \(OA = OB = d\).

### Các bước chứng minh
1. **Xác định tọa độ các điểm:**
- Gọi \(A\) có tọa độ \((d, 0)\) (vì \(A\) thuộc tia \(Ox\)).
- Gọi \(B\) có tọa độ \((0, d)\) (vì \(B\) thuộc tia \(Oy\)).

2. **Tìm tọa độ các điểm \(M\) và \(N\):**
- \(M\) là giao điểm của đường thẳng vuông góc từ \(A\) đến \(Ox\), nên tọa độ của \(M\) là \((d, 0)\).
- \(N\) là giao điểm của đường thẳng vuông góc từ \(B\) đến \(Oy\), nên tọa độ của \(N\) là \((0, d)\).

3. **Tìm trung điểm \(H\) và \(I\):**
- \(H\) là trung điểm của đoạn \(AM\) => Tọa độ \(H\) là \(\left(\frac{d + d}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = \left(d, 0\right)\).
- \(I\) là trung điểm của đoạn \(BN\) => Tọa độ \(I\) là \(\left(\frac{0 + 0}{2}, \frac{d + d}{2}\right) = \left(0, d\right)\).

### Chứng minh từng yêu cầu

a) **ON = OM và AN = BM:**
- \(OM\) là khoảng cách từ \(O(0, 0)\) đến \(M(d, 0)\) => \(OM = d\).
- \(ON\) là khoảng cách từ \(O(0, 0)\) đến \(N(0, d)\) => \(ON = d\).
- Do đó \(ON = OM\).
- \(AN = d\) (vì \(A(d, 0), N(0, d)\)) và \(BM = d\) (vì \(B(0, d), M(d, 0)\)).

b) **Tia \(OH\) là tia phần giác của góc \(xOy\):**
- Tia \(OH\) là tia đi qua \(O\) và \(H\), có phương vuông góc với \(Ox\) và hợp với tia \(Ox\) một góc 45 độ (điểm \(H\) nằm trên đường thẳng kéo dài \(x\)).

c) **Ba điểm \(O, H, I\) thẳng hàng:**
- Tọa độ \(H(d, 0)\) và \(I(0, d)\) tạo thành đường thẳng \(OI\) nằm trong hệ trục tọa độ, cho thấy ba điểm \(O, H, I\) nằm trên một đường thẳng.

### Kết luận
Từ những chứng minh trên, ta đã hoàn thành các yêu cầu của bài toán.