Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến AD, BE, CF. Đường thẳng kề qua E song song với AB, qua F song song với BE cắt nhau tại G. Chứng minh rằng:

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ tiến hành như sau:

### a. Chứng minh tứ giác AFEG là hình bình hành

1. **Tính chất đường trung tuyến**:
- Dễ dàng thấy rằng D là trung điểm của BC, E là trung điểm của AC, F là trung điểm của AB.

2. **Xét các góc**:
- Vì đường thẳng kề qua E song song với AB, nên góc AEF = góc A.
- Tương tự, đường thẳng qua F song song với BE tạo ra góc AFE = góc ABE.

3. **Tính chất hình bình hành**:
- Tứ giác AFEG có hai cặp góc đối bằng nhau (AEG = AFE và AEG = A).
- Do đó, tứ giác AFEG là hình bình hành.

### b. Chứng minh D, E, G thẳng hàng và CG = AD

1. **Chứng minh D, E, G thẳng hàng**:
- Xét đường thẳng đi qua E và G. Do E là trung điểm của AC, G nằm trên đường thẳng nối song song với BE. Vậy G cũng nằm trên đường thẳng nối D và E. Do đó, D, E, G thẳng hàng.

2. **Chứng minh CG = AD**:
- Ta có đoạn AD là đường trung tuyến, do đó AD = 1/2 BC.
- Tương tự, khi G là giao điểm của hai đoạn thẳng song song, ta có CG = 1/2 BC (có tính chất giống AD).
- Vậy CG = AD.

Kết luận: Ta đã chứng minh được rằng tứ giác AFEG là hình bình hành, D, E, G thẳng hàng và CG = AD.