Để tính các giá trị của \( \cos \alpha \), \( \tan \alpha \) và \( \cot \alpha \) khi biết \( \sin \alpha = \frac{1}{4} \) và \( 90^\circ < \alpha < 180^\circ \), ta tiến hành như sau:

1. **Tính \( \cos \alpha \)**:
Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông, ta có:

\[
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1
\]

Thay \( \sin \alpha = \frac{1}{4} \):

\[
\left(\frac{1}{4}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1
\]

\[
\frac{1}{16} + \cos^2 \alpha = 1
\]

\[
\cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}
\]

Do \( 90^\circ < \alpha < 180^\circ \) nên \( \cos \alpha < 0 \):

\[
\cos \alpha = -\sqrt{\frac{15}{16}} = -\frac{\sqrt{15}}{4}
\]

2. **Tính \( \tan \alpha \)**:
Công thức \( \tan \alpha \) được định nghĩa là:

\[
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}
\]

Thay giá trị đã biết:

\[
\tan \alpha = \frac{\frac{1}{4}}{-\frac{\sqrt{15}}{4}} = -\frac{1}{\sqrt{15}}
\]

3. **Tính \( \cot \alpha \)**:
\( \cot \alpha \) là nghịch đảo của \( \tan \alpha \):

\[
\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = -\sqrt{15}
\]

Tóm tắt các giá trị:

- \( \cos \alpha = -\frac{\sqrt{15}}{4} \)
- \( \tan \alpha = -\frac{1}{\sqrt{15}} \)
- \( \cot \alpha = -\sqrt{15} \)