Cho 3 điểm A,B,C thẳng hàng (B nằm giữa A và C)

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết.

### Phần a: Chứng minh \(AD \parallel BE\) và \(BD \parallel CE\)

- **Tam giác đều ABD**:
- Gọi \(AD\) và \(BD\) là hai cạnh bên của tam giác đều \(ABD\). Theo định nghĩa của tam giác đều, tất cả các cạnh đều có độ dài bằng nhau.
- Góc trong của tam giác đều sẽ là \(60^\circ\).
- Do đó, góc \(ABD = 60^\circ\).

- **Tam giác đều BCE**:
- Tương tự, gọi \(BE\) và \(CE\) là hai cạnh bên của tam giác đều \(BCE\). Tất cả các cạnh đều có độ dài bằng nhau.
- Góc \(BCE = 60^\circ\).

- **Chứng minh \(AD \parallel BE\)**:
- Từ tam giác đều \(ABD\), ta có:
\[
\angle ABD + \angle DAB + \angle ADB = 180^\circ
\]
Tương tự với tam giác \(BCE\):
\[
\angle BCE + \angle EBC + \angle BEC = 180^\circ
\]

- Khi đó:
\[
\angle DAB + \angle ABD + \angle EBC + \angle BCE = 180^\circ
\]

- Vì \(B\) nằm giữa \(A\) và \(C\), ta có \(AD\) và \(BE\) là hai đường thẳng nằm ở hai phía của \(AB\), với góc đều \(60^\circ\), nên:
\[
\angle DAB + \angle ABD + \angle ABC + \angle BCE = 180^\circ
\]
→ Suy ra \(AD \parallel BE\).

- **Chứng minh \(BD \parallel CE\)**:
- Tương tự như trên:
- Góc \(BDC\) và góc \(BCE\) đều là \(60^\circ\) (cả hai tam giác đều).
- Khi đó, suy ra \(BD \parallel CE\).

### Phần b: Tính góc ABE và góc DBC

- **Đối với góc ABE**:
- Kiến thức tam giác:
\[
\angle ABE = \angle ABD - \angle DAB = 60^\circ - 60^\circ = 0^\circ
\]
- Điều này cho thấy rằng các cạnh \(AB\) và \(BE\) thẳng hàng.

- **Đối với góc DBC**:
- Tương tự, ta có:
\[
\angle DBC = \angle ABD - \angle ABC = 60^\circ - 60^\circ = 0^\circ
\]

### Phần c: Chứng minh \(AE = DC\)

- Lưu ý rằng \(AD = AB = AC\) (vì các tam giác đều có cạnh bằng nhau).
- Do \(B\) nằm giữa \(A\) và \(C\), ta có:
- Từ định nghĩa các cạnh của tam giác,
- Cạnh \(AE\) và cạnh \(DC\) là hai đoạn đối diện và đều bằng nhau (sử dụng tính chất của tam giác đều).

Từ đó, ta có:
\[
AE = DC
\]

### Kết luận:
Ta đã chứng minh xong các yêu cầu trong bài toán: \(AD \parallel BE\), \(BD \parallel CE\), tính được góc \(ABE\) và \(DBC\), cũng như chứng minh rằng \(AE = DC\).