Để chứng minh các mệnh đề trong bài toán, chúng ta sẽ sử dụng quy nạp toán học và kiểm tra từng trường hợp.

### a. Chứng minh rằng \( D = 3^{4n+1} + 2 \) chia hết cho 5 với mọi số tự nhiên \( n \).

**Bước 1: Kiểm tra với \( n = 0 \)**

\[
D = 3^{4 \cdot 0 + 1} + 2 = 3^1 + 2 = 3 + 2 = 5
\]
Rõ ràng \( 5 \) chia hết cho \( 5 \).

**Bước 2: Giả sử điều kiện đúng với \( n = k \)**

Giả sử \( D_k = 3^{4k+1} + 2 \equiv 0 \mod 5 \).

**Bước 3: Chứng minh điều kiện với \( n = k + 1 \)**

\[
D_{k+1} = 3^{4(k+1) + 1} + 2 = 3^{4k + 4 + 1} + 2 = 3^{4k + 5} + 2
\]
Ta có:
\[
3^{4k + 5} = 3^{4k + 1} \cdot 3^4
\]
Vì \( 3^4 \equiv 1 \mod 5 \), nên:
\[
3^{4k + 5} \equiv 3^{4k + 1} \mod 5
\]
Do đó:
\[
D_{k+1} \equiv 3^{4k + 1} + 2 \mod 5
\]
Theo giả thuyết quy nạp, ta có:
\[
3^{4k + 1} + 2 \equiv 0 \mod 5 \implies D_{k+1} \equiv 0 \mod 5
\]

Vậy theo quy nạp, \( D \) chia hết cho \( 5 \) với mọi số tự nhiên \( n \).

### b. Chứng minh rằng \( G = 9^{2n} - 1 \) chia hết cho 2 và chia hết cho 5 với mọi số tự nhiên \( n \).

**Bước 1: Kiểm tra với \( n = 0 \)**

\[
G = 9^{2 \cdot 0} - 1 = 9^0 - 1 = 1 - 1 = 0
\]
\( 0 \) chia hết cho \( 2 \) và \( 5 \).

**Bước 2: Giả sử điều kiện đúng với \( n = k \)**

Giả sử \( G_k = 9^{2k} - 1 \equiv 0 \mod 2 \) và \( G_k \equiv 0 \mod 5 \).

**Bước 3: Chứng minh điều kiện với \( n = k + 1 \)**

\[
G_{k+1} = 9^{2(k+1)} - 1 = 9^{2k + 2} - 1 = (9^{2k}) \cdot 9^2 - 1
\]
Sử dụng hằng đẳng thức:
\[
a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)
\]
Ta có:
\[
G_{k+1} = 9^{2(k+1)} - 1 = (9^{2k} - 1)(9^{2k} + 1)
\]
- \( 9^{2k} \) luôn là số lẻ (vì \( 9 \) lẻ).
- Do đó, \( 9^{2k} - 1 \) là số chẵn → chia hết cho \( 2 \).

Đối với \( G_{k+1} \) chia hết cho \( 5 \), ta xét đi modulo \( 5 \):
- \( 9 \equiv 4 \mod 5 \implies 9^{2n} \equiv 4^{2n} \mod 5 \).
- \( 4^{2} \equiv 1 \mod 5 \) nên với mọi \( n \), \( 4^{2n} \equiv 1 \mod 5 \).
- Từ đó suy ra \( 9^{2n} - 1 \equiv 0 \mod 5 \).

Vậy theo quy nạp, \( G \) chia hết cho \( 2 \) và \( 5 \) với mọi số tự nhiên \( n \).

### Kết luận
Chúng ta đã chứng minh thành công rằng:
a. \( D = 3^{4n+1} + 2 \) chia hết cho \( 5 \) với mọi số tự nhiên \( n \).
b. \( G = 9^{2n} - 1 \) chia hết cho \( 2 \) và \( 5 \) với mọi số tự nhiên \( n \).