Để rút gọn biểu thức \( C = \left( \frac{1}{x-4} \cdot \frac{1}{x + 4\sqrt{x+4}} \right) \cdot \frac{\sqrt{x}}{x + 2\sqrt{x}} \), với \( x > 0 \) và \( x \neq 4 \), ta có thể thực hiện các bước sau:

1. **Nhân các biểu thức lại với nhau**:
\[
C = \frac{\sqrt{x}}{(x-4)(x + 4\sqrt{x+4})(x + 2\sqrt{x})}
\]

2. **Phân tích các yếu tố**:
- Ta cần tính \( x + 4\sqrt{x+4} \). Thay \( \sqrt{x+4} = y \), thì \( y^2 = x + 4 \) hay \( x = y^2 - 4 \).
- Vậy \( y = \sqrt{x+4} \).

3. **Tìm các biểu thức khả thi**:
- Sử dụng các giá trị đã thay đổi, hãy xác định và tính tiếp các hạn chế hoặc dạng số hạng chung để đơn giản hóa hơn.

4. **Kết hợp các biểu thức**: nếu có thể nhóm lại hoặc quy về các biểu thức dễ hơn.

5. **Tính hạn chế**: Kiểm tra các giá trị mà biểu thức không xác định.

6. **Rút gọn**: Cuối cùng, khả năng tập hợp các dữ liệu và số hạng tương đồng có thể cho phép rút gọn hoàn toàn biểu thức.

Mỗi bước cần cũng chú ý biểu thức phức tạp và hình thức rút gọn có thể tùy thuộc vào các bước đơn giản hóa.

Để có kết quả cụ thể, có thể tính toán bằng số cho các giá trị của \( x \) hoặc áp dụng các phương pháp đại số từng bước.