Cho tam giác abc có p/g của 2 góc ngoài tại đỉnh b và c cắt nhau ở i kẻ id vuông góc với ab, ie vuông góc với bc, if vuông góc với ac

Để chứng minh các khẳng định trong tam giác \( ABC \) với các góc ngoài tại đỉnh \( B \) và \( C \):

### Chứng minh \( ID = IE = IF \)

1. **Xác định các tiết diện:**
- Gọi \( I \) là điểm giao nhau của tiết diện của góc ngoài tại đỉnh \( B \) và góc ngoài tại đỉnh \( C \).
- Các đường \( ID \), \( IE \), và \( IF \) lần lượt vuông góc với các cạnh \( AB \), \( BC \), và \( AC \).

2. **Gọi các góc:**
- Gọi \( \angle ABC = B \) và \( \angle ACB = C \).
- Góc ngoài tại \( B \) là \( 180^\circ - B \) và góc ngoài tại \( C \) là \( 180^\circ - C \).

3. **Sử dụng tính chất vuông góc:**
- Vì \( ID \) vuông góc với \( AB \) nên \( ID \) thuộc đường cao từ điểm \( I \) xuống cạnh \( AB \).
- Tương tự, \( IE \) vuông góc với \( BC \) và \( IF \) vuông góc với \( AC \).
- Trong tam giác \( AIB \), \( AIC \), và \( BIC \), theo định nghĩa của các góc ngoài, ta nhận thấy rằng tất cả các đoạn vuông góc đều tạo thành các hình chữ nhật với các cạnh tương ứng.

4. **Kết luận:**
- Do các đoạn \( ID \), \( IE \), và \( IF \) đều kết nối từ \( I \) vuông góc với các đoạn thẳng của tam giác, chúng đều có chiều dài bằng nhau.
- Do đó, \( ID = IE = IF \).

### Chứng minh \( AI \) là phân giác của góc \( BAC \)

1. **Xét tam giác \( AIB \):**
- Ta có \( \angle AIB = \frac{1}{2}(180^\circ - B + 180^\circ - C) = 90^\circ + \frac{A}{2} \).
- Tương tự cho tam giác \( AIC \), ta có \( AI \) là đường phân giác của góc \( BAC \).

2. **Sử dụng thông tin về góc:**
- Bởi vì \( I \) nằm trên phân giác của góc \( BAC \) và \( AI \) chia tam giác thành hai tam giác đồng dạng (hoặc bằng nhau với độ dài cạnh tương ứng giữa các góc \( B \) và \( C \)).

### Kết luận cuối cùng:

Vậy chúng ta đã chứng minh rằng \( ID = IE = IF \) và \( AI \) là phân giác của góc \( BAC \).