Chứng minh đẳng thức

Để chứng minh đẳng thức sau:

\[
3(x^2 + y^2 + z^2) - (x - y)^2 - (y - z)^2 - (z - x)^2 = (x + y + z)^2,
\]

ta sẽ thực hiện từng phần như sau:

1. **Tính giá trị của các bình phương**:

\[
(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2,
\]
\[
(y - z)^2 = y^2 - 2yz + z^2,
\]
\[
(z - x)^2 = z^2 - 2zx + x^2.
\]

2. **Thay vào đẳng thức**:

\[
3(x^2 + y^2 + z^2) - [(x^2 - 2xy + y^2) + (y^2 - 2yz + z^2) + (z^2 - 2zx + x^2)].
\]

3. **Cộng các bình phương lại**:

\[
(x^2 - 2xy + y^2) + (y^2 - 2yz + z^2) + (z^2 - 2zx + x^2) = 2(x^2 + y^2 + z^2) - 2(xy + yz + zx).
\]

4. **Thay vào biểu thức chính**:

\[
3(x^2 + y^2 + z^2) - [2(x^2 + y^2 + z^2) - 2(xy + yz + zx)].
\]

Rút gọn:

\[
= 3(x^2 + y^2 + z^2) - 2(x^2 + y^2 + z^2) + 2(xy + yz + zx)
= (x^2 + y^2 + z^2) + 2(xy + yz + zx).
\]

5. **Kết quả**:

Thực hiện thể hiện lại \( (x + y + z)^2 \):

\[
(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx).
\]

Vậy, ta đã chứng minh được rằng:

\[
3(x^2 + y^2 + z^2) - (x - y)^2 - (y - z)^2 - (z - x)^2 = (x + y + z)^2.
\]

Xong!