Tính các góc, các cạnh, đường cao và tính diện tích tam giác ABC

Để tính các cạnh, góc, đường cao và diện tích của tam giác ABC, với góc B = 60 độ, BH = 12 và CH = 18, chúng ta sẽ áp dụng một số định lý và công thức trong hình học.

1. **Xác định các cạnh của tam giác ABC:**
- Gọi H là chân đường cao từ A xuống cạnh BC.
- Theo giả thiết, BH = 12 và CH = 18.
- Ta có BC = BH + CH = 12 + 18 = 30.

2. **Tính độ dài của cạnh AB:**
Ta có tam giác AHB vuông, với:
- Góc AHB = 90 độ (vì H là chân đường cao)
- Góc BHA = Góc B = 60 độ.
=> Góc AHB = 30 độ (do tổng 3 góc trong tam giác = 180 độ).

Áp dụng định lý sin trong tam giác AHB:
\[
\dfrac{AB}{\sin(30)} = \dfrac{BH}{\sin(60)}
\]
Với sin(30) = 0.5 và sin(60) = \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\):
\[
AB = BH \cdot \dfrac{\sin(30)}{\sin(60)} = 12 \cdot \dfrac{0.5}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 12 \cdot \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}.
\]

3. **Tính độ dài của cạnh AC:**
Áp dụng định lý sin trong tam giác AHC:
- Góc AHC = 90 độ,
- Góc CHB = 30 độ.

Áp dụng định lý sin:
\[
\dfrac{AC}{\sin(30)} = \dfrac{CH}{\sin(60)}.
\]
\[
AC = CH \cdot \dfrac{\sin(30)}{\sin(60)} = 18 \cdot \dfrac{0.5}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 18 \cdot \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}.
\]

4. **Tính các góc còn lại của tam giác ABC:**
- Góc A = 30 độ (góc đối diện cạnh AC).
- Góc C = 90 độ bởi tính chất của tam giác vuông tại H.

5. **Tính diện tích tam giác ABC:**
Diện tích tam giác có thể tính bằng công thức:
\[
S = \dfrac{1}{2} \cdot BC \cdot AH.
\]
- Cần tính độ dài AH.
Từ tam giác AHB có:
\[
AH = BH \cdot \tan(B) = 12 \cdot \tan(60) = 12 \cdot \sqrt{3}.
\]
Do đó:
\[
S = \dfrac{1}{2} \cdot 30 \cdot (12\sqrt{3}) = 15 \cdot 12\sqrt{3} = 180\sqrt{3}.
\]

Tóm lại:
- Cạnh AB = \(4\sqrt{3}\).
- Cạnh AC = \(6\sqrt{3}\).
- Cạnh BC = 30.
- Góc A = 30 độ, góc B = 60 độ, góc C = 90 độ.
- Đường cao AH = \(12\sqrt{3}\).
- Diện tích \(S = 180\sqrt{3}\).