Để viết các số thập phân lặp lại dưới dạng phân số tối giản, ta sẽ thực hiện các bước sau:

### Số 1: \(5,1(3)\)

1. Gọi \(x = 5,1(3)\).
2. Chuyển đổi thành phân số:
\[
x = 5,13333...
\]
3. Để loại bỏ phần thập phân, nhân cả hai vế với 10:
\[
10x = 51,3333...
\]
4. Tiếp tục nhân với 10 thêm một lần nữa để loại bỏ phần lặp lại:
\[
100x = 513,3333...
\]
5. Bây giờ ta có hai phương trình:
- \(10x = 51,3333...\)
- \(100x = 513,3333...\)

6. Trừ hai phương trình:
\[
100x - 10x = 513,3333... - 51,3333...
\]
\[
90x = 462
\]
\[
x = \frac{462}{90} = \frac{51}{10} \text{ (rút gọn với 9)}
\]

### Số 2: \(2,2(1)\)

1. Gọi \(y = 2,2(1)\).
2. Chuyển đổi thành phân số:
\[
y = 2,21111...
\]
3. Nhân cả hai vế với 10:
\[
10y = 22,1111...
\]
4. Nhân thêm một lần với 10:
\[
100y = 221,1111...
\]
5. Trừ hai phương trình:
- \(10y = 22,1111...\)
- \(100y = 221,1111...\)

Ta có:
\[
100y - 10y = 221,1111... - 22,1111...
\]
\[
90y = 199
\]
\[
y = \frac{199}{90} \text{ (đã tối giản)}
\]

### Kết quả cuối cùng:

- Số \(5,1(3)\) dưới dạng phân số tối giản là: \(\frac{51}{10}\)
- Số \(2,2(1)\) dưới dạng phân số tối giản là: \(\frac{199}{90}\)