Để chứng minh rằng \( BD = AE \) và \( AD = CE \), ta thực hiện như sau:

1. **Đặt các yếu tố**:
- Tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \): \( AB = AC \).
- Gọi \( D \) và \( E \) lần lượt là các điểm trên đường thẳng \( d \) sao cho \( BD \perp d \) và \( CE \perp d \).

2. **Tam giác vuông**:
- Vì \( BD \perp d \) và \( CE \perp d \) nên \( BD \) và \( CE \) đều là các đường vuông góc với \( d \).

3. **Sử dụng định lý Pythagoras**:
- Ta nhận thấy rằng trong hai tam giác vuông \( ABD \) và \( ACE \):
- \( AB = AC \) (do đề bài cho).
- \( AD = AE \) (cả hai đoạn thẳng này là cạnh của tam giác vuông tại \( A \)).
- \( BD = CE \) (các đoạn vuông góc từ \( B \) và \( C \) đến đường thẳng \( d \) là bằng nhau do tính đối xứng quanh \( M \)).

4. **Kết luận**:
- Từ những điều trên, ta có thể kết luận rằng \( BD = AE \) và \( AD = CE \), từ đó hoàn thành bài toán.

Chứng minh này dựa trên tính đối xứng và các thuộc tính của hình học trong tam giác vuông.