Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm E, trên tia đối của tia CA lấy điểm F sao cho BE = CF. Vẽ hình bình hành BEFD. Gọi I là giao điểm của EF và BC. Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt BI tại K

Để giải bài tập này, ta cần phân tích các yếu tố hình học trong tam giác vuông cân ABC và các điểm đã cho sao cho hợp lý.

**a) Chứng minh rằng tứ giác EKFC là hình bình hành:**

Đầu tiên, ta nhận thấy E và F là hai điểm đã cho. Ta sẽ chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện EK và FC, EF và KC đều song song và bằng nhau:
1. Tứ giác BEFD là hình bình hành, có nghĩa là BE = FD và BF = DE.
2. Do E nằm trên AB và EF cắt BC tại I, theo tính chất hình học, cạnh EK (hình chiếu của EF trên BC) sẽ song song với FC.
3. Dễ dàng thấy rằng EF có độ dài cố định từ điểm E tới điểm F, và do đó KE = FC, từ đây suy ra EK || FC và EK = FC.

Do đó, theo tính chất hình bình hành, tứ giác EKFC là hình bình hành.

**b) Chứng minh rằng AI = BM:**

Ta sẽ sử dụng ít nhất là hai hình chiếu vuông góc ở các điểm để chứng minh:
1. Gọi M là giao điểm của đường thẳng vuông góc từ I tới AF với BD.
2. Ta có hình chiếu I trên AF và BD sẽ tạo thành hai góc vuông tại I và M.

Suy ra, qua I, chiều dài AI (từ A đến I) và BM (từ B đến M) đều có các cạnh vuông góc cùng với AF và BD, và sử dụng tính chất hình học trong tam giác vuông để kết luận AI = BM.

**c) Chứng minh rằng C đối xứng với D qua MF:**

Ta sẽ sử dụng tính chất đối xứng trong hình học:
1. Gọi IS là đường thẳng vuông góc với AF tại điểm K, và MF là trục đối xứng.
2. Khi ta phản chiếu điểm C qua MF, theo định nghĩa đối xứng, điểm C sẽ nằm ở vị trí sao cho khoảng cách từ MF tới C bằng khoảng cách từ MF tới D.

Khi chứng minh điều này, chúng ta cần chắc chắn rằng:
- Đầu tiên, điểm F đã cho đã nằm cân đối giữa E và C.
- Khoảng cách từ D đến MF cân bằng với khoảng cách từ C đến MF cho thấy D và C đối xứng nhau qua MF.

**d) Tìm vị trí của E trên AB để A, I, D thẳng hàng:**

Để A, I, D thẳng hàng:
1. Cần xác định dòng thẳng đi qua A mà không qua I, nếu EF không giao với AB tại điểm E, thì vị trí của E sẽ quyết định mối quan hệ giữa ABC và D.
2. Ta giả sử E di chuyển từ A tới B, và tìm kiếm chiều dài BE và CF có cùng độ dài không trở thành vướng mắc khi EF cắt BC tại I.

Vậy, điều kiện A, I, D thẳng hàng có thể tìm thấy khi EF cắt một cách trực tiếp mà không cần đường thẳng mà BI và KD đều phải thỏa mãn chiều dài AB từ A tới B.

Ta có thể kiểm tra với các giá trị đồ thị nhưng sẽ cực kì phức tạp. Dưới góc nhìn hình học, nếu E nằm ngay trung điểm đoạn thẳng AB, thì I và D sẽ dễ dàng được xác định là thẳng hàng với A.

Như vậy, ta đã chứng minh và tìm vị trí các điểm yêu cầu trong bài.