Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm theo hai phần:

### a) Tứ giác AFME là hình gì?
Tứ giác AFME được hình thành từ các điểm A, F, M, và E.

1. **Các đường song song**:
- Đường thẳng song song với AB cắt AC tại E.
- Đường thẳng song song với AC cắt AB tại F.

2. **Tính chất của tứ giác**:
- Do EF song song với AB và AM song song với AC, suy ra AFME là hình chữ nhật.

### b) Xác định vị trí điểm M trên cạnh BC để tứ giác AFME là hình vuông:
1. Tứ giác AFME là hình vuông khi và chỉ khi chiều dài AF = AM.
2. Để điều này xảy ra, chúng ta cần M được đặt sao cho chiều dài MF (đo từ M đến F) và độ dài ME (đo từ M đến E) bằng nhau.

Từ đó, để tìm vị trí điểm M trên cạnh BC, ta có thể sử dụng tỉ lệ chiều dài và các tính chất hình học:

- Gọi độ dài của cạnh BC là b và độ dài của cạnh AB là a.
- M có thể được định vị với tỉ lệ:

\[
\frac{AM}{MB} = \frac{AB}{AC}
\]

Khi đó M sẽ nằm sao cho AF = AM với kích thước phù hợp để đảm bảo AFME là một hình vuông.

### Kết luận:
- Tứ giác AFME là hình chữ nhật.
- Để AFME là hình vuông, bạn cần xác định vị trí điểm M sao cho AF = AM, cụ thể bằng cách điều chỉnh vị trí M trên cạnh BC theo tỉ lệ tương ứng.