Để chứng minh biểu thức \( C = (x-3)(x-5) + (x-1)^2 - 6x^3 \cdot 3y^2 \) không phụ thuộc vào giá trị của biến \( x \), ta sẽ thực hiện bước phân tích và tính toán chi tiết.

Bước 1: Tính các phần trong biểu thức.

1. Tính \( (x-3)(x-5) \):
\[
(x-3)(x-5) = x^2 - 8x + 15
\]

2. Tính \( (x-1)^2 \):
\[
(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1
\]

Bước 2: Kết hợp các kết quả lại.
\[
C = (x^2 - 8x + 15) + (x^2 - 2x + 1) - 6x^3 \cdot 3y^2
\]
\[
C = 2x^2 - 10x + 16 - 18x^3y^2
\]

Bước 3: Nhận xét về biểu thức.

Biểu thức \( C \) bao gồm các thành phần: \( 2x^2 - 10x + 16 \) và \( -18x^3y^2 \). Từ đó, nếu ta chú ý, phần \( -18x^3y^2 \) có thể làm cho toàn bộ biểu thức phụ thuộc vào \( x \) khi \( y \) khác không. Tuy nhiên, cần kiểm tra các điều kiện để biểu thức không phụ thuộc vào \( x \).

Bước 4: Chứng minh điều kiện.

Ta cần chỉ ra rằng sự phụ thuộc vào \( x \) có thể bị triệt tiêu. Giả sử \( y \) là một hằng số, ta sẽ tìm giá trị được cho \( C \) không phụ thuộc vào \( x \) bằng cách đưa biểu thức về dạng hằng số.

Dễ nhận thấy rằng nếu \( y = 0 \), tất cả các thành phần \( -18x^3y^2 \) sẽ trở về 0. Khi đó:
\[
C = 2x^2 - 10x + 16
\]
không còn phụ thuộc vào \( x \).

Ngoài ra, nếu chúng ta tìm điều kiện cho các hệ số \( x^2 \) và \( x \) trong biểu thức trở về hằng số (coi như không có \( x \)), thì cần tính các thành phần này theo một cách thích hợp.

Kết luận: Chỉ khi \( y = 0 \), biểu thức mới trở thành hằng số. Do đó, đảm bảo rằng tổng thể, dưới điều kiện này, giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của \( x \).

Trong trường hợp khác với \( y \neq 0 \), biểu thức vẫn phụ thuộc vào \( x \) qua \( -18x^3y^2 \).

Do vậy, để chiều cao giá trị biểu thức không phụ thuộc vào biến \( x \), ta đặt \( y = 0 \).