Để chứng minh các phần yêu cầu trong bài, chúng ta sẽ sử dụng định nghĩa và tính chất của tam giác cân cùng một số định lý cơ bản trong hình học.

**a. Chứng minh tam giác AMB = tam giác AMC.**

- Trong tam giác ABC cân tại A, chúng ta có: \( AB = AC \) (vì ABC cân tại A).
- M là trung điểm của đoạn BC, nghĩa là \( BM = MC \).
- Đoạn AM là chung của cả hai tam giác AMB và AMC.

Từ đây, ta có các cặp cạnh tương ứng của hai tam giác AMB và AMC bằng nhau:
1. \( AB = AC \)
2. \( AM = AM \) (cạnh chung)
3. \( BM = MC \)

Do đó, theo định lý tổng hợp (cạnh - cạnh - cạnh), ta có:
\[ \triangle AMB \cong \triangle AMC \]

**b. Chứng minh AM là trung trực của tam giác ABC.**

- Một đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng đó tại trung điểm của nó. Ở đây, M là trung điểm của BC.
- Từ chứng minh ở phần (a), chúng ta có hai tam giác AMB và AMC bằng nhau.
- Do đó, các góc tương ứng cũng bằng nhau:
\[
\angle AMB = \angle AMC
\]
- Từ đó suy ra rằng \( AM \) vuông góc với \( BC \) (vì tổng của hai góc này bằng 180 độ).

Vậy, \( AM \) là trung trực của đoạn BC, tức là \( AM \) chính là trung trực của tam giác ABC.

**c. Chứng minh tam giác NBC cân tại N.**

1. Từ kết quả của phần b, ta đã biết:
- AM vuông góc với BC tại M.

2. Lấy N thuộc đoạn thẳng AM sao cho M nằm giữa A và N. Ta sẽ chứng minh \( NB = NC \).

3. Giả sử \( M \) là trung điểm của đoạn \( BC \) và AM vuông góc với \( BC \), tức là khoảng cách từ \( N \) đến hai cạnh \( AB \) và \( AC \) là bằng nhau vì N nằm trên trung trực của BC (do AM vuông góc với BC).

4. Do \( AM \) là trung trực của \( BC \), suy ra:
\[
NB = NC
\]

Vậy, tam giác NBC là tam giác cân tại N.

Tóm lại:
- a: \( \triangle AMB \cong \triangle AMC \) (hai tam giác bằng nhau).
- b: AM là trung trực của tam giác ABC.
- c: Tam giác NBC cân tại N với NB = NC.