Cho a, b, c > 0. Chứng minh:

Để chứng minh bất đẳng thức trong bài toán trên, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Ta cần chứng minh rằng:

\[
\frac{a}{b} + \frac{b}{c} \geq \frac{4a}{a+b+c}
\]

### Chứng minh:

1. Gọi \( S = a + b + c \).
2. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho hai dãy số \( (a, b) \) và \( \left(\frac{1}{b}, \frac{1}{c}\right) \):

\[
(a+b) \left(\frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right) \geq (1 + 1)^2 = 4
\]

3. Từ đó, ta có:

\[
(a+b) \left(\frac{c+b}{bc}\right) \geq 4
\]

4. Suy ra:

\[
\frac{(a+b)(b+c)}{bc} \geq 4 \Rightarrow \frac{(a+b)c + (a+b)b}{bc} \geq 4
\]

5. Chia cả hai bên cho \( S \):

\[
\frac{a}{b} + \frac{b}{c} \geq \frac{4a}{a+b+c}
\]

Do đó, bất đẳng thức được chứng minh.

### Kết luận:

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng:

\[
\frac{a}{b} + \frac{b}{c} \geq \frac{4a}{a+b+c}
\]

Rất mong điều này giúp ích cho bạn!