Để chứng minh rằng \(200p^2 - 1\) và \(200p^2 + 1\) không thể đồng thời là hai số nguyên tố, ta sẽ sử dụng một số tính chất về số nguyên tố và tính chẵn lẻ của các số.

Gọi:

\[
a = 200p^2 - 1
\]
\[
b = 200p^2 + 1
\]

Chúng ta có thể thấy rằng \(b\) luôn lớn hơn \(a\) với khoảng cách bằng 2:

\[
b - a = (200p^2 + 1) - (200p^2 - 1) = 2
\]

Khi \(a\) là số nguyên tố, \(b\) sẽ là số nguyên tố tiếp theo, và hai số nguyên tố liên tiếp khác nhau không thể cách nhau đúng 2 được nếu cả hai đều lớn hơn 2.

Ta sẽ phân tích hai trường hợp: khi \(p\) là số nguyên tố lẻ và khi \(p = 2\).

1. **Trường hợp \(p\) là số nguyên tố lẻ:**

Khi \(p\) là một số nguyên tố lẻ, \(p^2\) sẽ là số lẻ và do đó \(200p^2\) cũng là số lẻ (vì 200 là số chẵn, mọi số chẵn nhân với số lẻ vẫn sẽ chẵn), từ đó sẽ cho ra kết quả:

\[
200p^2 - 1 \text{ (lẻ)} \quad \text{và} \quad 200p^2 + 1 \text{ (lẻ)}
\]

Như vậy cả \(a\) và \(b\) đều là số lẻ. Tuy nhiên, cả hai số lẻ chỉ có thể là số nguyên tố liên tiếp nếu một trong chúng là số 2. Nhưng trong trường hợp này, cả hai đều không thể là 2 vì chúng cách nhau 2 đơn vị.

2. **Trường hợp \(p = 2\):**

Thay \(p = 2\):

\[
a = 200 \cdot 2^2 - 1 = 200 \cdot 4 - 1 = 800 - 1 = 799
\]
\[
b = 200 \cdot 2^2 + 1 = 800 + 1 = 801
\]

799 là số nguyên tố, nhưng 801 thì không phải số nguyên tố (vì \(801 = 3 \cdot 267\)). Hai số này không đồng thời là số nguyên tố.

Tóm lại, trong cả hai trường hợp ta kiểm tra (khi \(p\) là số nguyên tố lẻ và khi \(p = 2\)), không thể tồn tại cặp \(200p^2 - 1\) và \(200p^2 + 1\) đồng thời là số nguyên tố.

Vì vậy, ta có thể kết luận rằng:

\[
200p^2 - 1 \text{ và } 200p^2 + 1 \text{ không thể đồng thời là số nguyên tố.}
\]

Chứng minh đã hoàn tất!