Cho hình thang ABCD (AB // CD). Các tia phân giác của các góc ngoài đỉnh A và D cắt nhau ở H

Để chứng minh rằng \( HK \parallel DC \) trong hình thang \( ABCD \) với \( AB \parallel CD \), ta sẽ sử dụng đặc điểm của các tia phân giác và tính chất của hình thang.

1. **Đặt các góc**:
- Gọi \( \angle DAB = \alpha \) và \( \angle ABC = \beta \).
- Gọi \( \angle BCD = \gamma \) và \( \angle CDA = \delta \).
Rõ ràng, vì hình thang \( ABCD \) có \( AB \parallel CD \), nên \( \alpha + \delta = 180^\circ \) và \( \beta + \gamma = 180^\circ \).

2. **Xét tia phân giác**:
- Tia phân giác của góc ngoài tại A (tức là góc \( DAB \)) chia ra thành 2 tia: một tia đi theo hướng của đoạn thẳng \( AD \) và tia kia đi theo hướng của đoạn thẳng \( AH \) (góc tạo thành với hướng quay ngược chiều kim đồng hồ).
- Tia phân giác của góc ngoài tại D (góc \( CDA \)) cũng chia thành 2 tia: một tia theo đoạn \( CD \) và tia kia theo hướng \( DH \).

3. **Xây dựng điểm phân giác H**:
- Theo định nghĩa tia phân giác, ta có:
\[
\angle HAD = \frac{1}{2} \angle DAB = \frac{1}{2} \alpha
\]
\[
\angle HDA = \frac{1}{2} \angle CDA = \frac{1}{2} \delta
\]
- Do đó, \( \angle HAD + \angle HDA = \frac{1}{2} \alpha + \frac{1}{2} \delta \).

4. **Tương tự với điểm K**:
- Tia phân giác tại B và C sẽ tạo thành các góc:
\[
\angle KBH = \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \beta
\]
\[
\angle KBC = \frac{1}{2} \angle BCD = \frac{1}{2} \gamma
\]
- Tương tự có:
\[
\angle KBH + \angle KBC = \frac{1}{2} \beta + \frac{1}{2} \gamma
\]

5. **Sử dụng tính chất**:
- Từ tính chất góc trong hình thang, ta có:
\[
\angle DAB + \angle ABC = 180^\circ \Rightarrow \angle HDA + \angle KBH = 180^\circ
\]

6. **Kết luận**:
- Từ các góc tại H và K, ta thấy rằng \( HK \) được tạo ra từ hai tia phân giác của các góc ngoài ở A và D, do đó nó phải song song với \( CD \) theo định lý về hai đường thẳng bị một đường thẳng cắt (các góc đồng vị).

Vì vậy, ta có \( HK \parallel DC \).

Điều chứng minh hoàn tất. \( \boxed{HK \parallel DC} \).