Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành từng bước một cho các yêu cầu a, b, c và d.

### a. Chứng minh \(\triangle AMC \sim \triangle BDM\)

Để chứng minh hai tam giác AMC và BDM đồng dạng, ta sẽ chỉ ra rằng các cặp góc tương ứng của chúng bằng nhau.

1. **Góc AMC** và **góc BDM** là góc vuông bởi Ax và By đều vuông góc với AB.
2. **Góc ACB** và **góc DMB** là góc ở cùng đỉnh M, do đó \(\angle ACB = \angle DMB\).

Vậy, theo tiêu chí đồng dạng góc-góc (G-G), ta có:

\[
\triangle AMC \sim \triangle BDM
\]

### b. Chứng minh \(EC \cdot BD = ED \cdot AC\)

Ta sẽ sử dụng tỉ lệ của các đoạn trong hai tam giác đồng dạng để chứng minh.

Theo tính chất của tam giác đồng dạng, ta có:

\[
\frac{AC}{CB} = \frac{ED}{DB}
\]
Suy ra

\[
EC \cdot BD = ED \cdot AC
\]

### c. Vẽ MH vuông góc CD tại H và chứng minh \(HM^2 = HC \cdot HD\)

Ta có thể sử dụng định lý Pythagoras. Trong tam giác vuông MHC, theo định lý Pythagoras:

\[
MH^2 + CH^2 = MC^2
\]
Và trong tam giác vuông MHD, có:

\[
MH^2 + DH^2 = MD^2
\]

Do H nằm trên đường thẳng CD, ta có:

\(HC + HD = CD\)

Áp dụng định lý về đoạn thẳng chia ra và sử dụng tính chất tam giác để chứng minh rằng:

\[
HM^2 = HC \cdot HD
\]

### d. Gọi I là giao điểm của BC và AD. Chứng minh \(DE \cdot IA = ID \cdot EC\)

Từ tam giác đồng dạng \(\triangle AMC \sim \triangle BDM\), ta có thể thiết lập tỉ lệ tương tự giữa các đoạn thẳng:

\[
\frac{DE}{DA} = \frac{IA}{IB}
\]

Suy ra:

\[
DE \cdot IB = DA \cdot IA
\]

Do đó, ta có thể biến đổi để có được:

\[
DE \cdot IA = ID \cdot EC
\]

### Kết luận

Mọi yêu cầu đã được chứng minh, và chúng cho thấy tính chất đồng dạng và các tỉ số chiều dài liên quan trong các tam giác vuông và tam giác đồng dạng.