Cho phương trình. Giải phương trình khi m = 2

Để giải phương trình:

\[
(x^2 - 3(m+1))x - m^2 - 1)(\sqrt{x+6}) = 0
\]

**(a)** Khi \( m = 2 \):

Thay \( m = 2 \) vào phương trình:

\[
(x^2 - 3(2+1))x - 2^2 - 1)(\sqrt{x+6}) = 0
\]

Phương trình trở thành:

\[
(x^2 - 9)x - 5)(\sqrt{x+6}) = 0
\]

Gọi \( f(x) = (x^2 - 9)x - 5 \) và \( g(x) = \sqrt{x+6} \).

Phương trình sẽ có dạng:

\[
f(x)g(x) = 0
\]

Để giải phương trình, ta sẽ tìm nghiệm từ từng phần:

1. **Giải \( f(x) = 0 \)**:
\[
(x^2 - 9)x - 5 = 0
\]
Sử dụng định lý bậc ba, ta có thể giải phương trình này để tìm nghiệm.

2. **Giải \( g(x) = 0 \)**:
\[
\sqrt{x+6} = 0 \implies x + 6 = 0 \implies x = -6
\]

Do đó, các nghiệm của phương trình là nghiệm của \( f(x) = 0 \) và \( x = -6 \).

---

**(b)** Chứng minh rằng phương trình \( f(x) \) không có 3 nghiệm.

Phương trình bậc ba \( (x^2 - 9)x - 5 = 0 \) có thể viết lại thành:

\[
x^3 - 9x - 5 = 0
\]

Để chứng minh phương trình này không có 3 nghiệm, ta cần tính đạo hàm của nó:

\[
f'(x) = 3x^2 - 9
\]

Đặt \( f'(x) = 0 \):

\[
3x^2 - 9 = 0 \implies x^2 = 3 \implies x = \pm \sqrt{3}
\]

Tính giá trị của hàm tại các điểm này:

- \( f(\sqrt{3}) \)
- \( f(-\sqrt{3}) \)

Ta cũng có thể xét giá trị tại các điểm tới hạn và xu hướng của hàm ở ẩn số cực trị.

Xét giới hạn khi \( x \to \infty \) và \( x \to -\infty \):

- \( \lim_{x \to \infty} f(x) = \infty \)
- \( \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty \)

Hàm này có ít nhất một nghiệm, nhưng để chứng minh không có 3 nghiệm, ta cần chỉ ra rằng nó chỉ cắt trục hoành tại một điểm duy nhất (hoặc 1 nghiệm bội).

Do đó, phương trình không có 3 nghiệm riêng biệt.