Tìm các cặp số nguyên x y thỏa mãn x^2 - 2xy + 5y^2 + 2x - 6y - 3 = 0

Để tìm các cặp số nguyên \(x, y\) thỏa mãn phương trình:

\[
x^2 - 2xy + 5y^2 + 2x - 6y - 3 = 0,
\]

ta có thể xem phương trình này như là một phương trình bậc hai theo \(x\):

\[
x^2 - (2y - 2)x + (5y^2 - 6y - 3) = 0.
\]

Để phương trình bậc hai này có nghiệm thực, chúng ta cần điều kiện về delta:

\[
\Delta = (2y - 2)^2 - 4(5y^2 - 6y - 3) \geq 0.
\]

Tính delta:

\[
\Delta = (2y - 2)^2 - 4(5y^2 - 6y - 3)
\]
\[
= 4y^2 - 8y + 4 - (20y^2 - 24y - 12)
\]
\[
= 4y^2 - 8y + 4 - 20y^2 + 24y + 12
\]
\[
= -16y^2 + 16y + 16.
\]

Bây giờ ta sẽ xét phương trình này:

\[
-16y^2 + 16y + 16 \geq 0.
\]

Chia cả hai vế cho -16 (nhớ đổi dấu bất đẳng thức):

\[
y^2 - y - 1 \leq 0.
\]

Giải bất phương trình này bằng phân tích nghiệm hoặc dùng định lý Viète:

Nghiệm của phương trình bậc 2:

\[
y = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}.
\]

Gần đúng, nghiệm này khoảng:

\[
y_1 \approx 1.618, \quad y_2 \approx -0.618.
\]

Vậy, \(y\) nằm trong khoảng:

\[
-0.618 \leq y \leq 1.618.
\]

Như vậy, các giá trị nguyên cho \(y\) là \(y = -1, 0, 1\).

Tiếp theo, ta thay từng giá trị của \(y\) vào phương trình bậc hai để tìm giá trị của \(x\):

1. Với \(y = -1\):

\[
x^2 - 2(-1)x + 5(-1)^2 + 2x - 6(-1) - 3 = 0
\]
\[
x^2 + 2x + 5 + 2x + 6 - 3 = 0
\]
\[
x^2 + 4x + 8 = 0.
\]

Không có nghiệm nguyên.

2. Với \(y = 0\):

\[
x^2 - 2(0)x + 5(0)^2 + 2x - 6(0) - 3 = 0
\]
\[
x^2 + 2x - 3 = 0.
\]

Nghiệm:

\[
x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2} \Rightarrow x = 1 \text{ hoặc } x = -3.
\]

Vậy có 2 cặp: \((1, 0)\) và \((-3, 0)\).

3. Với \(y = 1\):

\[
x^2 - 2(1)x + 5(1)^2 + 2x - 6(1) - 3 = 0
\]
\[
x^2 - 2x + 5 + 2x - 6 - 3 = 0
\]
\[
x^2 - 4 = 0.
\]

Nghiệm:

\[
x = 2 \text{ hoặc } x = -2.
\]

Vậy có 2 cặp: \((2, 1)\) và \((-2, 1)\).

Tóm lại, các cặp số nguyên \((x, y)\) thỏa mãn phương trình là:

\[
(1, 0), (-3, 0), (2, 1), (-2, 1).
\]