Để tìm giá trị của \( n \) là số tự nhiên khác 0 sao cho \( n^2 + 3^n \) là số chính phương, ta cần kiểm tra các giá trị của \( n \) nhỏ.

* Nếu \( n = 1 \):
\[
n^2 + 3^n = 1^2 + 3^1 = 1 + 3 = 4 \quad (\text{là}\, 2^2)
\]

* Nếu \( n = 2 \):
\[
n^2 + 3^n = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13 \quad (\text{không phải là số chính phương})
\]

* Nếu \( n = 3 \):
\[
n^2 + 3^n = 3^2 + 3^3 = 9 + 27 = 36 \quad (\text{là}\, 6^2)
\]

* Nếu \( n = 4 \):
\[
n^2 + 3^n = 4^2 + 3^4 = 16 + 81 = 97 \quad (\text{không phải là số chính phương})
\]

* Nếu \( n = 5 \):
\[
n^2 + 3^n = 5^2 + 3^5 = 25 + 243 = 268 \quad (\text{không phải là số chính phương})
\]

* Nếu \( n = 6 \):
\[
n^2 + 3^n = 6^2 + 3^6 = 36 + 729 = 765 \quad (\text{không phải là số chính phương})
\]

Từ các tính toán trên, ta tìm thấy:

- \( n = 1 \) cho \( n^2 + 3^n = 4 \) (là số chính phương).
- \( n = 3 \) cho \( n^2 + 3^n = 36 \) (là số chính phương).

Ngoài ra, với các giá trị \( n \) lớn hơn, \( 3^n \) sẽ tăng nhanh hơn \( n^2 \) và sẽ khó để tổng này trở thành một số chính phương.

Do đó, các giá trị \( n = 1 \) và \( n = 3 \) là các số tự nhiên khác 0 mà \( n^2 + 3^n \) là số chính phương.