Để chứng minh rằng biểu thức \( -9x^2 + 24x - 17 \) luôn âm, chúng ta cần xem xét dạng của biểu thức này.

Biểu thức trên là một đa thức bậc 2 với các hệ số:
- Hệ số của \( x^2 \) là \( -9 < 0 \), nghĩa là đồ thị của nó là một parabol ngược (hướng xuống).
- Hệ số của \( x \) là \( 24 \).
- Hệ số không \( -17 \).

### Bước 1: Tính Delta

Để kiểm tra xem đa thức này có nhận giá trị âm cho tất cả các giá trị của \( x \) hay không, ta tính discriminant \( \Delta \):

\[
\Delta = b^2 - 4ac
\]
Trong đó:
- \( a = -9 \)
- \( b = 24 \)
- \( c = -17 \)

Thay vào công thức:
\[
\Delta = 24^2 - 4 \cdot (-9) \cdot (-17)
\]
\[
= 576 - 612
\]
\[
= -36
\]

### Bước 2: Phân tích Delta

Bởi vì \( \Delta < 0 \) (cụ thể là \( -36 \)), điều này có nghĩa là phương trình \( -9x^2 + 24x - 17 = 0 \) không có nghiệm thực. Như vậy, đồ thị của biểu thức \( -9x^2 + 24x - 17 \) không cắt trục hoành.

### Bước 3: Xét giá trị của biểu thức

Vì đồ thị là một parabol mở xuống và không cắt trục hoành, nó luôn ở phía dưới trục hoành. Do đó, chúng ta có thể kết luận rằng biểu thức \( -9x^2 + 24x - 17 \) luôn âm cho mọi giá trị của \( x \).

### Kết luận

Vậy, ta có thể khẳng định rằng:

\[
-9x^2 + 24x - 17 < 0 \text{ với mọi } x \in \mathbb{R}
\]