Để chứng minh rằng \( \frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c} \) khi biết rằng \( \frac{bz - cy}{a} = \frac{cx - az}{b} = \frac{ay - bx}{c} \), ta sẽ làm theo các bước sau:

Gọi \( k \) là hằng số tỉ lệ, tức là:

\[
\frac{bz - cy}{a} = k, \quad \frac{cx - az}{b} = k, \quad \frac{ay - bx}{c} = k
\]

Từ đó ta có thể viết lại các biểu thức:

1. \( bz - cy = ak \)
2. \( cx - az = bk \)
3. \( ay - bx = ck \)

Từ ba phương trình trên, ta có thể biến đổi từng phương trình một:

- Từ phương trình (1):
\[
bz - cy = ak \implies bz = cy + ak
\]

- Từ phương trình (2):
\[
cx - az = bk \implies cx = az + bk
\]

- Từ phương trình (3):
\[
ay - bx = ck \implies ay = bx + ck
\]

Bây giờ, chúng ta sẽ chia từng phương trình cho \( a \), \( b \), và \( c \) tương ứng để thu được các tỉ số:

- Từ tương đương (1):
\[
\frac{bz}{a} = \frac{cy}{a} + k
\]

- Từ tương đương (2):
\[
\frac{cx}{b} = \frac{az}{b} + k
\]

- Từ tương đương (3):
\[
\frac{ay}{c} = \frac{bx}{c} + k
\]

Từ đây, dấu hiệu cách tương ứng cho thấy rằng \( \frac{x}{a}, \frac{y}{b}, \frac{z}{c} \) đều phụ thuộc vào cùng một hằng số \( k \), do đó, ta có thể kết luận rằng:

\[
\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}
\]

Vậy ta đã chứng minh được điều phải chứng minh.