Để tìm tất cả số nguyên \( x \) sao cho biểu thức

\[
A = \frac{3x - 2}{2x - 3}
\]

nhận giá trị nguyên, ta cần điều kiện là \( 2x - 3 \neq 0 \) (tức là \( x \neq \frac{3}{2} \)).

Biểu thức \( A \) sẽ nhận giá trị nguyên khi tử số \( 3x - 2 \) chia hết cho mẫu số \( 2x - 3 \). Do đó, ta sẽ có:

\[
A = k \quad \text{(với \( k \) là số nguyên)}
\]

Từ đó, ta có thể viết lại phương trình:

\[
\frac{3x - 2}{2x - 3} = k
\]

Suy ra:

\[
3x - 2 = k(2x - 3)
\]

Hay:

\[
3x - 2 = 2kx - 3k
\]

Cách sắp xếp lại, ta có:

\[
3x - 2kx = -3k + 2
\]

\[
x(3 - 2k) = 2 - 3k
\]

\[
x = \frac{2 - 3k}{3 - 2k}
\]

Để \( x \) là số nguyên, điều kiện là \( 2 - 3k \) phải chia hết cho \( 3 - 2k \). Ta sẽ tìm các giá trị của \( k \) sao cho điều kiện này thỏa mãn.

Xét trường hợp:

1. **Nếu \( 3 - 2k \neq 0 \)**, tức là \( k \neq \frac{3}{2} \)

Ta sẽ tìm \( k \) để \( 2 - 3k \) chia hết cho \( 3 - 2k \). Đây là một bài toán số học, ta có thể thử một vài giá trị nguyên cho \( k \) để xem tìm được các số nguyên \( x \).

- **Nếu \( k = 0 \)**:

\[
x = \frac{2 - 0}{3 - 0} = \frac{2}{3} \quad \text{(không nguyên)}
\]

- **Nếu \( k = 1 \)**:

\[
x = \frac{2 - 3 \cdot 1}{3 - 2 \cdot 1} = \frac{-1}{1} = -1 \quad \text{(nguyên)}
\]

- **Nếu \( k = 2 \)**:

\[
x = \frac{2 - 3 \cdot 2}{3 - 2 \cdot 2} = \frac{-4}{-1} = 4 \quad \text{(nguyên)}
\]

- **Nếu \( k = -1 \)**:

\[
x = \frac{2 - 3(-1)}{3 - 2(-1)} = \frac{5}{5} = 1 \quad \text{(nguyên)}
\]

- **Nếu \( k = -2 \)**:

\[
x = \frac{2 - 3(-2)}{3 - 2(-2)} = \frac{8}{7} \quad \text{(không nguyên)}
\]

- **Nếu \( k = -3 \)**:

\[
x = \frac{2 - 3(-3)}{3 - 2(-3)} = \frac{11}{9} \quad \text{(không nguyên)}
\]

Tiếp tục kiểm tra sẽ thấy các giá trị \( k \) lớn hơn hoặc nhỏ hơn sẽ tạo thành các số nguyên đối xứng hoặc không cho giá trị nguyên.

Rốt cuộc ta tìm được \( x \) là:

\[
x = -1, 4, 1
\]

Kết luận:

Tất cả các số nguyên \( x \) mà biểu thức \( A \) nhận giá trị nguyên là:

\[
x = -1, 1, 4
\]