Cho tam giác ABC, AB = 5cm, BC = 7cm, CA = 8cm. Vẽ đường phân giác AD. Tính AD

Để tính độ dài của đường phân giác \( AD \) trong tam giác \( ABC \), ta sử dụng định lý đường phân giác. Định lý này cho biết rằng độ dài của đường phân giác \( AD \) được tính bằng công thức:

\[
AD = \frac{2 \cdot AB \cdot AC}{AB + AC} \cdot \cos \left( \frac{B}{2} \right)
\]

Trong trường hợp này, độ dài các cạnh của tam giác được cho như sau: \( AB = 5 \, \text{cm} \), \( AC = 8 \, \text{cm} \) và \( BC = 7 \, \text{cm} \).

Đầu tiên, ta cần tính góc \( B \). Ta sử dụng định lý Cosine để tìm \( B \):

\[
BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(B)
\]
\[
7^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos(B)
\]
\[
49 = 25 + 64 - 80 \cdot \cos(B)
\]
\[
49 = 89 - 80 \cdot \cos(B)
\]
\[
80 \cdot \cos(B) = 40
\]
\[
\cos(B) = \frac{1}{2}
\]
Góc \( B = 60^\circ \).

Tiếp theo, ta tính \( \cos \left( \frac{B}{2} \right) \):

\[
\frac{B}{2} = 30^\circ \Rightarrow \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]

Bây giờ thay vào công thức tính \( AD \):

\[
AD = \frac{2 \cdot 5 \cdot 8}{5 + 8} \cdot \cos(30^\circ)
\]
\[
= \frac{80}{13} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
\[
= \frac{40 \sqrt{3}}{13}
\]

Vậy độ dài của đường phân giác \( AD \) là \( \frac{40 \sqrt{3}}{13} \, \text{cm} \).