Để chứng minh rằng \( p + 2021 \) là hợp số khi \( p \) và \( p + 4 \) là các số nguyên tố (với \( p > 3 \)), ta có thể thực hiện các bước sau:

1. **Xét tính chất của \( p \) và \( p + 4 \)**:
- Vì \( p \) và \( p + 4 \) đều là số nguyên tố và \( p > 3 \), nên \( p \) là số lẻ.
- Khi \( p \) là số lẻ, \( p + 4 \) cũng sẽ là số lẻ.

2. **Tính \( 2021 \)**:
- Chúng ta có thể xem xét \( 2021 \) theo modulo \( 3 \) và \( 5 \):
\[
2021 \div 3 = 673 \quad \text{và dư là } 2 \quad \Rightarrow \quad 2021 \equiv 2 \mod 3
\]
\[
2021 \div 5 = 404 \quad \text{và dư là } 1 \quad \Rightarrow \quad 2021 \equiv 1 \mod 5
\]

3. **Xét \( p + 2021 \)**:
- Ta biết rằng mọi số nguyên tố lớn hơn \( 3 \) đều có dạng \( 6k \pm 1 \) (tức là chia hết cho 6 hoặc dư 1 hoặc 5 khi chia cho 6).

4. **Xét trường hợp \( p \equiv 1 \mod 6 \)**:
- Khi đó, \( p + 4 \equiv 5 \mod 6 \).
- Như vậy:
\[
p + 2021 \equiv 1 + 2 \equiv 3 \mod 6
\]

5. **Xét trường hợp \( p \equiv 5 \mod 6 \)**:
- Khi đó, \( p + 4 \equiv 3 \mod 6 \).
- Như vậy:
\[
p + 2021 \equiv 5 + 2 \equiv 0 \mod 6
\]
Điều này cho thấy \( p + 2021 \) chia hết cho 6.

**Kết luận:**
1. Nếu \( p \equiv 1 \mod 6 \), ta thấy \( p + 2021 \equiv 3 \mod 6\), điều này không chắc chắn.
2. Nếu \( p \equiv 5 \mod 6 \), ta có \( p + 2021 \equiv 0 \mod 6 \) (kiểm tra thấy chia hết cho 6, nên là hợp số).

Do đó, trong cả các trường hợp khi \( p \) là số nguyên tố lớn hơn 3, ta thấy \( p + 2021 \) là một số hợp số.