Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành như sau:

a) **Chứng minh DE // BC:**

1. **Tính chất đường phân giác:** Ta có AM là đường trung tuyến, tức là \( M \) là trung điểm của \( BC \).
2. Do \( D \) và \( E \) lần lượt là giao điểm của đường phân giác với các cạnh \( AB \) và \( AC \), theo định lý phân giác (định lý của Menelaus) trong tam giác, ta có:
- Tỷ lệ: \( \frac{AD}{DB} = \frac{AM}{MC} \) và \( \frac{AE}{EC} = \frac{AM}{MB} \)
3. Với \( M \) là trung điểm \( BC \), ta có \( MB = MC \). Do đó, từ tỷ lệ trên, ta suy ra:
\[
\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}
\]

4. Từ hai tỷ lệ này, áp dụng định lý đồng dạng, suy ra rằng hai đoạn thẳng \( DE \) và \( BC \) là song song:
\[
DE \parallel BC
\]

b) **Gọi I là giao điểm của DE và AM. Chứng minh rằng I là trung điểm của DE:**

1. Do DE // BC và AM là đường trung tuyến, theo định lý về giao điểm của các đường thẳng song song và đường trung tuyến trong tam giác, ta có:
- \( I \) sẽ chia \( DE \) thành hai đoạn thẳng có độ dài bằng nhau.

2. Từ đó, ta có thể kết luận rằng:
\[
DI = IE
\]

Do đó, điểm \( I \) chính là trung điểm của đoạn thẳng \( DE \).

**Kết luận:** \( DE \parallel BC \) và \( I \) là trung điểm của \( DE \).