Giả sử theo dự kiến ban đầu, mỗi ngày cơ sở đó làm ra \(x\) chiếc nón lá.

Thời gian dự kiến hoàn thành là \(t\) ngày. Vậy:

\[
x \times t = 300
\]

Nếu được bổ sung thêm nhân công, mỗi ngày cơ sở đó làm ra được \(x + 5\) chiếc nón lá. Với năng suất này, số ngày để hoàn thành 300 chiếc nón lá sẽ là:

\[
\frac{300}{x + 5}
\]

Theo bài toán, thời gian thực tế hoàn thành sớm hơn 3 ngày so với dự kiến, tức là:

\[
t - 3 = \frac{300}{x + 5}
\]

Từ hai phương trình trên, chúng ta có hệ:

1. \(t = \frac{300}{x}\)
2. \(t - 3 = \frac{300}{x + 5}\)

Thay \(t\) từ phương trình (1) vào phương trình (2):

\[
\frac{300}{x} - 3 = \frac{300}{x + 5}
\]

Nhân cả hai vế với \(x(x + 5)\) để loại bỏ mẫu:

\[
300(x + 5) - 3x(x + 5) = 300x
\]

Mở rộng và thu gọn phương trình:

\[
300x + 1500 - 3x^2 - 15x = 300x
\]

\[
1500 - 3x^2 - 15x = 0
\]

Chuyển đổi về dạng chuẩn:

\[
3x^2 + 15x - 1500 = 0
\]

Chia cả phương trình cho 3 để đơn giản hơn:

\[
x^2 + 5x - 500 = 0
\]

Sử dụng công thức nghiệm để giải:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-500)}}{2 \cdot 1}
\]

Tính toán:

\[
= \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 2000}}{2}
= \frac{-5 \pm \sqrt{2025}}{2}
= \frac{-5 \pm 45}{2}
\]

Có hai nghiệm:

1. \(x = \frac{40}{2} = 20\)
2. \(x = \frac{-50}{2} = -25\) (không hợp lý vì không thể có số nón âm)

Vậy theo dự kiến ban đầu, mỗi ngày cơ sở đó làm ra được:

\[
\boxed{20} \text{ chiếc nón lá.}
\]