Cho tam giác ABC có diện tích 240 cm2. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = 2/3 AB, trên cạnh AC lấy điểm N sao cho AN= NC

Để giải quyết bài toán này, ta sẽ bắt đầu phân tích từng phần một.

### a. Tính diện tích của tam giác AMC:

Gọi \( S_{ABC} \) là diện tích của tam giác ABC, ta có \( S_{ABC} = 240 \) cm².

- Điểm M chia cạnh AB thành hai phần: \( AM = \frac{2}{3} AB \) và \( MB = \frac{1}{3} AB \).
- Ta biết rằng diện tích tam giác tỉ lệ với chiều cao và cạnh đáy. Vì vậy, diện tích \( S_{AMC} \) sẽ tỉ lệ với cạnh \( AM \).

Diện tích tam giác AMC sẽ là:

\[
S_{AMC} = \frac{AM}{AB} \cdot S_{ABC} = \frac{\frac{2}{3} AB}{AB} \cdot 240 = \frac{2}{3} \cdot 240 = 160 \, \text{cm}^2
\]

### b. Tính diện tích tứ giác MNCB:

Tứ giác MNCB gồm hai phần:
- Tam giác AMC mà ta đã tính ở trên: \( S_{AMC} = 160 \, \text{cm}^2 \).
- Tam giác ANB có đáy là AB và chiều cao từ N.

Đầu tiên, ta cần tính diện tích tam giác ANB. Điểm N chia cạnh AC thành hai phần: \( AN = NC \), tức là \( AN = \frac{1}{2} AC \).

Tương tự, diện tích tam giác ANB bằng một nửa diện tích tam giác ABC:

\[
S_{ANB} = \frac{1}{2} \cdot S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 240 = 120 \, \text{cm}^2
\]

Như vậy, diện tích tứ giác MNCB là:

\[
S_{MNCB} = S_{ABC} - S_{AMC} = S_{ABC} - S_{ANB} = 240 - 160 = 80 \, \text{cm}^2
\]

### c. So sánh diện tích tam giác AMN và BNC:

Ta đã có diện tích tam giác AMC là \( 160 \, \text{cm}^2 \) và diện tích xác định cho \( S_{ANB} = 120 \, \text{cm}^2 \).

- Tam giác AMN có cùng đáy AN và chiều cao từ M, cùng tỉ lệ với AN và AC.
- Tam giác BNC có đáy NC và chiều cao từ B.

Do điểm N nằm giữa C và A (vì AN = NC), nên diện tích tam giác AMN sẽ lớn hơn diện tích tam giác BNC:

\[
S_{AMN} > S_{BNC}
\]

### d. So sánh IB và IN khi BN và CM cắt nhau tại I:

Điểm I là giao điểm của BN và CM. Từ sự đồng tỷ lệ và phân chia cạnh, ta biết rằng:

- \( BM : MA = \frac{1}{3} : \frac{2}{3} = 1 : 2 \)
- \( CN : NA = 1 : 1 \)

Khi dòng thẳng cắt nhau, ta có:

\[
\frac{IB}{IN} = \frac{BM}{AN} = \frac{1}{2}
\]

Do đó, IB nhỏ hơn IN:

\[
IB < IN
\]

### Tóm lại:
a. Diện tích tam giác AMC là \( 160 \, \text{cm}^2 \).
b. Diện tích tứ giác MNCB là \( 80 \, \text{cm}^2 \).
c. Diện tích tam giác AMN lớn hơn diện tích BNC.
d. \( IB < IN \).