Cho hàm số f(x)= x^2+2x. Hãy vẽ bảng biến thiên của hàm số sau đây

Để vẽ bảng biến thiên của các hàm số \( y = f(x^2) \) và \( y = f(3 - x^2) \), trước tiên ta cần tìm hàm số gốc \( f(x) = x^2 + 2x \) và từ đó xác định các đặc điểm như nghiệm, cực trị và tính chất tăng giảm của các hàm số đã cho.

### Bước 1: Xét hàm số \( f(x) \)

Hàm số \( f(x) = x^2 + 2x \) có thể viết lại dưới dạng:

\[
f(x) = (x + 1)^2 - 1
\]

#### Tính đạo hàm:

\( f'(x) = 2x + 2 \)

#### Tìm điểm cực trị:

Giải \( f'(x) = 0 \):

\[
2x + 2 = 0 \Rightarrow x = -1
\]

#### Tính giá trị tại điểm cực trị:

\( f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1 \)

Tại \( x = -1 \) là cực tiểu,

\- Khi \( x < -1 \), \( f'(x) < 0 \) (hàm giảm)

\- Khi \( x > -1 \), \( f'(x) > 0 \) (hàm tăng)

### Bảng biến thiên của \( f(x) \):

- \( x = -1 \): giá trị hàm số là -1, hàm giảm trước điểm này và tăng sau điểm này.

| \( x \) | \( -\infty \) | -1 | \( +\infty \) |
|------------|---------------|------|---------------|
| \( f(x) \) | \( +\infty \) | -1 | \( +\infty \) |
| Tăng/Giảm | Giảm | Cực tiểu | Tăng |

### Bước 2: Xét hàm số \( y = f(x^2) \)

Áp dụng \( f(x) \) vào \( x^2 \):

\[
y = f(x^2) = (x^2)^2 + 2(x^2) = x^4 + 2x^2
\]

- Hàm số này chỉ có một biến \( x^2 \), nên ta xét với \( t = x^2 \) (biến không âm).

#### Tính đạo hàm:

\[
g(t) = t^2 + 2t \quad (t = x^2 \geq 0)
\]

\[
g'(t) = 2t + 2
\]

#### Tìm điểm cực trị:

Giải \( g'(t) = 0 \):

\[
2t + 2 = 0 \Rightarrow t = -1
\]
Tuy nhiên \( t = x^2 \geq 0 \) nên không có điểm cực trị.

#### Đặc tính hàm:

\(\ g'(t) > 0 \) cho mọi \( t \geq 0 \).

### Bảng biến thiên của \( y = f(x^2) \):
- Tăng trên đoạn \([0, +\infty)\)

| \( t \) | \( 0 \) | \( +\infty \) |
|------------|-----------------|---------------|
| \( y = f(t) \) | \( g(0) = 0 \) | \( +\infty \) |
| Tăng/Giảm | Tăng | |

### Bước 3: Xét hàm số \( y = f(3 - x^2) \)

\[
y = f(3 - x^2) = (3 - x^2)^2 + 2(3 - x^2)
\]
\[
= (3 - x^2)^2 + 6 - 2x^2
= 9 - 6x^2 + x^4 + 6 - 2x^2
= x^4 - 8x^2 + 15
\]

#### Tính đạo hàm:

\[
h(x) = x^4 - 8x^2 + 15
\]
\[
h'(x) = 4x^3 - 16x
\]

#### Tìm nghiệm \( h'(x) = 0 \):

\[
4x(x^2 - 4) = 0 \Rightarrow x = 0, x = 2, x = -2
\]

#### Kiểm tra dấu đạo hàm:

- \( h'(x) < 0 \) trên \((-\infty, -2) \)
- \( h'(x) > 0 \) trên \((-2, 0) \)
- \( h'(x) < 0 \) trên \((0, 2) \)
- \( h'(x) > 0 \) trên \((2, +\infty) \)

#### Bảng biến thiên của \( h(x) \):

Tính giá trị tại các điểm:

- \( h(-2) = 16 - 32 + 15 = -1 \)
- \( h(0) = 15 \)
- \( h(2) = 16 - 32 + 15 = -1 \)

| \( x \) | \( -\infty \) | -2 | 0 | 2 | \( +\infty \) |
|------------|----------------|------|-------|------|---------------|
| \( h(x) \) | \( +\infty \) | -1 | 15 | -1 | \( +\infty \) |
| Tăng/Giảm | Giảm | Cực tiểu | Tăng | Cực tiểu | Tăng |

### Kết luận:
- Bảng biến thiên của \( y = f(x^2) \) là duy nhất tăng.
- Bảng biến thiên của \( y = f(3 - x^2) \) có 2 điểm cực tiểu \(-1\) và \(15\).

Nếu có câu hỏi nào khác hoặc cần hỗ trợ thêm, hãy cho tôi biết!