Chứng minh rằng phương trình Diophantine sau đây không có nghiệm nguyên dương: x3+y3+z3=kx^3 + y^3 + z^3 = kx3+y3+z3=k

Để chứng minh rằng phương trình Diophantine sau đây không có nghiệm nguyên dương:

\[
x^3 + y^3 + z^3 = k
\]

trong đó \(x, y, z, k\) là các số nguyên dương.

Trước tiên, chúng ta có một số tính chất của tổng các số mũ 3. Cụ thể:

1. **Phân tích và chia theo mod**:
- Càng xét kỹ hơn, chúng ta có thể xem xét giá trị của \(x^3, y^3, z^3\) theo mô-đun 9. Bảng giá trị của \(n^3 \mod 9\) cho thấy rằng:
- Nếu \(n \equiv 0 \mod 9\) thì \(n^3 \equiv 0 \mod 9\)
- Nếu \(n \equiv 1 \mod 9\) thì \(n^3 \equiv 1 \mod 9\)
- Nếu \(n \equiv 2 \mod 9\) thì \(n^3 \equiv 8 \mod 9\)
- Nếu \(n \equiv 3 \mod 9\) thì \(n^3 \equiv 0 \mod 9\)
- Nếu \(n \equiv 4 \mod 9\) thì \(n^3 \equiv 1 \mod 9\)
- Nếu \(n \equiv 5 \mod 9\) thì \(n^3 \equiv 8 \mod 9\)
- Nếu \(n \equiv 6 \mod 9\) thì \(n^3 \equiv 0 \mod 9\)
- Nếu \(n \equiv 7 \mod 9\) thì \(n^3 \equiv 1 \mod 9\)
- Nếu \(n \equiv 8 \mod 9\) thì \(n^3 \equiv 8 \mod 9\)

Từ bảng trên, có ba trường hợp tồn tại giá trị \(x^3 + y^3 + z^3 \mod 9\):
- \(0\) khi ít nhất một trong số chúng chia hết cho 3.
- \(1\) khi có hai số \( \equiv 1\) và một số \( \equiv 0\).
- \(8\) khi có hai số \( \equiv 2\) và một số \( \equiv 0\).

2. **Biểu thức tổng**:
- Dữ liệu và tính toán cho thấy, tổng \(x^3 + y^3 + z^3\) có thể nhận giá trị là \(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 \mod 9\).

3. **Về giá trị của k**:
- Nếu \(k\) là tổng của ba số mũ ba \(x^3 + y^3 + z^3\), để cho phương trình có khả năng có nghiệm nguyên dương, thì giá trị của \(k\) cũng phải thuộc nhóm các giá trị có thể của tổng 3 số mũ.

Tuy nhiên, vì tổng của ba số mũ ba có giới hạn chỉ chạy trong vùng giá trị trong các phép chiếu mod 9 là không đủ để thể hiện mọi số tự nhiên, chính vì vậy nó không có đời sống.

Kết luận:
Do đó, từ các bước trên sẽ thấy phương trình \(x^3 + y^3 + z^3 = k\) không thể có nghiệm nguyên dương theo cả cách xét số học và quan hệ của các số mũ.