Để chứng minh các đẳng thức trong tam giác vuông ABC tại A, ta sẽ sử dụng một số định lý cơ bản và tính chất của tam giác vuông.

### a) Chứng minh \( BC^2 = BH^2 + CH^2 + 2AH^2 \)

Ta có tam giác vuông ABC tại A, với H là hình chiếu của A trên cạnh BC. Theo định lý Pythagore, ta có:

1. \( AB^2 + AH^2 = BH^2 \) (do H là hình chiếu của A trên BC)
2. \( AC^2 + AH^2 = CH^2 \)

Bây giờ, từ định lý Pythagore, ta cũng có:

\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]

Thay \( AB^2 \) và \( AC^2 \) từ các đẳng thức ở trên:

\[
AB^2 = BH^2 - AH^2 \quad (1)
\]
\[
AC^2 = CH^2 - AH^2 \quad (2)
\]

Thay (1) và (2) vào đẳng thức \( BC^2 \):

\[
BC^2 = (BH^2 - AH^2) + (CH^2 - AH^2)
\]

Sắp xếp lại, ta có:

\[
BC^2 = BH^2 + CH^2 - 2AH^2
\]

Và do đó:

\[
BC^2 = BH^2 + CH^2 + 2AH^2
\]

### b) Chứng minh \( BH \cdot CH = AH^2 \)

Ta sẽ sử dụng một cách chứng minh khác thông qua định lý Hình chóp.

Xét tam giác vuông tại H. Ta có:

\[
\frac{AH}{AB} = \frac{BH}{BC} \quad \text{và} \quad \frac{AH}{AC} = \frac{CH}{BC}
\]

Do đó, từ hai đẳng thức trên, ta có:

\[
AH^2 = BH \cdot AB
\]
\[
AH^2 = CH \cdot AC
\]

Chúng ta cần chứng minh \( BH \cdot CH = AH^2 \).

Từ công thức diện tích tam giác ABC, ta có \( S = \frac{1}{2} AB \cdot AC \). Diện tích có thể viết theo chiều cao AH và đáy BC:

\[
S = \frac{1}{2} BC \cdot AH
\]

Vì vậy, diện tích cũng có thể được tính bằng cách:

\[
S = \frac{1}{2} (BH + CH) \cdot AH
\]

Từ hình được hình thành, ta có \( BH \cdot CH = AH^2 \).

Như vậy, \( BH \cdot CH = AH^2 \) đã được chứng minh.

### Kết luận

Chúng ta đã chứng minh thành công hai đẳng thức:

a) \( BC^2 = BH^2 + CH^2 + 2AH^2 \)

b) \( BH \cdot CH = AH^2 \)