Để chứng minh rằng nếu \( a^4 + b^4 + c^4 + d^4 = 4abcd \) và \( a, b, c, d \) là các số dương thì \( a = b = c = d \), ta sẽ sử dụng bất bất đẳng thức Cauchy-Schwarz hoặc phương pháp phản chứng.

### Chứng minh bằng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

Ta có bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho bốn số dương:

\[
(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)(a^2 + b^2 + c^2 + d^2) \geq (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)^2
\]

Đặt \( x = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \), ta có:

\[
x^2 \geq a^4 + b^4 + c^4 + d^4
\]

kết hợp với điều kiện cho trước, ta có:

\[
x^2 \geq 4abcd
\]

Theo bất đẳng thức AM-GM cho bốn số dương \( a, b, c, d \):

\[
\frac{a + b + c + d}{4} \geq \sqrt[4]{abcd}
\]

Điều này dẫn đến:

\[
(a + b + c + d)^2 \geq 4abcd
\]

### Kết hợp các kết quả

Sử dụng điều kiện \( a^4 + b^4 + c^4 + d^4 = 4abcd \), chúng ta có:

\[
x^2 = 4abcd
\]

Suy ra từ hai bất đẳng thức trên, ta có:

\[
a^4 + b^4 + c^4 + d^4 \leq x^2 \quad và \quad a^4 + b^4 + c^4 + d^4 \geq 4abcd
\]

Điều này chỉ xảy ra khi tất cả các số đều bằng nhau, tức là:

\[
a = b = c = d
\]

### Kết luận

Do đó, ta đã chứng minh rằng nếu \( a^4 + b^4 + c^4 + d^4 = 4abcd \) và \( a, b, c, d \) là các số dương thì \( a = b = c = d \).