Để chứng minh rằng trung tuyến \( AM \) của tam giác \( ABC \) bằng nửa cạnh \( B'C' \) trong trường hợp đã cho, ta có thể làm theo các bước sau:

1. **Kí hiệu và Định nghĩa**:
- Gọi \( M \) là trung điểm của \( BC \).
- Theo giả thiết, có \( AB = A'B' \), \( AC = A'C' \), và \( \angle BAC + \angle B'A'C' = 180^\circ \). Điều này có nghĩa là \( A, B, C \) và \( A', B', C' \) có thể đặt trong một hệ trục tọa độ một cách hợp lý với các góc tương ứng.

2. **Biểu diễn tọa độ**:
- Giả sử \( A = (0, 0) \), \( B = (b, 0) \), \( C = (x, y) \).
- Để tính trị số trung tuyến \( AM \), trước tiên ta xác định tọa độ của \( M \). Vì \( M \) là trung điểm của \( BC \), nên:
\[
M = \left(\frac{b + x}{2}, \frac{y}{2}\right).
\]

3. **Tính độ dài trung tuyến**:
- Độ dài của trung tuyến \( AM \) được tính theo công thức:
\[
AM = \sqrt{\left(\frac{b + x}{2} - 0\right)^2 + \left(\frac{y}{2} - 0\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{b + x}{2}\right)^2 + \left(\frac{y}{2}\right)^2}.
\]

4. **Xem xét tam giác \( A'B'C' \)**:
- Gọi tọa độ của \( A' = (0, 0) \), \( B' = (b, 0) \), và \( C' \) được tính toán tương ứng với tính chất \( A'C' = AC \) và các yếu tố của tam giác \( A'B'C' \).

5. **Sử dụng định nghĩa về chính tắc**:
- Như \( \angle BAC + \angle B'A'C' = 180^\circ \) cho thấy rằng tam giác \( A'B'C' \) và tam giác \( ABC \) có mối quan hệ bổ sung giữa các góc. Điều này chỉ ra rằng khi hoàn tất tính toán chiều dài của các cạnh trong tam giác thì 2 tam giác sẽ có tỉ số tương ứng của các độ dài cạnh và trung tuyến đồng thời.

6. **Kết luận**:
- Như cách đã tính toán, với định nghĩa và công thức độ dài trung tuyến, sẽ có:
\[
AM = \frac{1}{2}B'C'.
\]
Vậy, chúng ta chứng minh được rằng trung tuyến \( AM \) của tam giác \( ABC \) bằng nửa độ dài cạnh \( B'C' \).