Để giải bài toán này, ta sẽ làm từng yêu cầu một.

1. **Tính giá trị của biểu thức Q tại \( x = 16 \)**:
\[
Q = \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x - 3}} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x + 3}} + \frac{3x - 3}{9 - x}
\]
Thay \( x = 16 \) vào \( Q \):
\[
Q = \frac{\sqrt{16 + 1}}{\sqrt{16 - 3}} + \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{16 + 3}} + \frac{3 \cdot 16 - 3}{9 - 16}
\]
Tính từng phần:
\[
Q = \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{13}} + \frac{4}{\sqrt{19}} + \frac{48 - 3}{-7}
\]
\[
= \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{13}} + \frac{4}{\sqrt{19}} - \frac{45}{7}
\]

Bạn có thể tính giá trị gần đúng nếu cần.

2. **Chứng minh rằng \( P = \frac{3\sqrt{x} + 3}{x - 9} \)**:
Bạn có thể thay giá trị của \( x = 16 \) vào \( P \) và kiểm tra.

3. **Tìm \( x \) là số nguyên để \( M = \frac{P}{Q} \) là số nguyên**:
Thay \( P \) và \( Q \) vào biểu thức, sau đó tìm giá trị \( x \) sao cho \( M \) là số nguyên.

4. **Cho \( A = x \cdot M + \frac{4x + 7}{\sqrt{x + 3}} \). Tìm GTNN của \( A \)**:
Thay giá trị \( x \) vào biểu thức \( A \) và xem xét các giá trị nguyên của \( x \) trong khoảng có thể, từ đó tìm GTNN của \( A \).

Bạn có thể làm từng bước và tính toán thêm dựa trên các công thức trên. Nếu cần thêm hỗ trợ ở từng phần cụ thể, hãy cho tôi biết!