Để rút gọn biểu thức \( P \) đã cho, ta có:

\[
P = \frac{a^3 - 4a^2 - a + 4}{a^3 - 7a^2 + 14a - 8}
\]

### Bước 1: Rút gọn \( P \)

Đầu tiên, ta cần phân tích cả tử số và mẫu số:

**Tử số:**
\( a^3 - 4a^2 - a + 4 \)

Ta có thể thử phân tích bằng cách tìm nghiệm. Thử với các giá trị \( a = 1 \):

\[
1^3 - 4(1^2) - 1 + 4 = 1 - 4 - 1 + 4 = 0
\]

Vậy \( a - 1 \) là một nhân tử của tử số. Sử dụng phép chia đa thức để tìm các nhân tử còn lại.

Chia \( a^3 - 4a^2 - a + 4 \) cho \( a - 1 \):

Kết quả sau khi chia là:

\[
a^2 - 3a - 4
\]

Tử số có thể viết lại là:

\[
a^3 - 4a^2 - a + 4 = (a - 1)(a^2 - 3a - 4)
\]

Tiếp tục phân tích \( a^2 - 3a - 4 \):

\[
a^2 - 3a - 4 = (a - 4)(a + 1)
\]

Vậy tử số hoàn toàn là:

\[
a^3 - 4a^2 - a + 4 = (a - 1)(a - 4)(a + 1)
\]

**Mẫu số:**
\( a^3 - 7a^2 + 14a - 8 \)

Thử với \( a = 2 \):

\[
2^3 - 7(2^2) + 14(2) - 8 = 8 - 28 + 28 - 8 = 0
\]

Vậy \( a - 2 \) là một nhân tử của mẫu số. Chia \( a^3 - 7a^2 + 14a - 8 \) cho \( a - 2 \):

Kết quả sau khi chia là:

\[
a^2 - 5a + 4
\]

Phân tích tiếp:

\[
a^2 - 5a + 4 = (a - 4)(a - 1)
\]

Vậy mẫu số hoàn toàn là:

\[
a^3 - 7a^2 + 14a - 8 = (a - 2)(a - 4)(a - 1)
\]

### Bước 2: Rút gọn biểu thức \( P \)

Thay vào biểu thức \( P \):

\[
P = \frac{(a - 1)(a - 4)(a + 1)}{(a - 2)(a - 4)(a - 1)}
\]

Rút gọn:

\[
P = \frac{(a + 1)}{(a - 2)} \quad (a \neq 1, 4, 2)
\]

### Bước 3: Tìm giá trị để \( P \) là nguyên

Để \( P \) là nguyên, ta cần \( \frac{a + 1}{a - 2} \) là một số nguyên.

Kí hiệu \( k = \frac{a + 1}{a - 2} \), từ đó có:

\[
a + 1 = k(a - 2) \implies a + 1 = ka - 2k \implies a - ka = -2k - 1 \implies a(1 - k) = -2k - 1 \implies a = \frac{-2k - 1}{1 - k}
\]

Giá trị của \( a \) sẽ là nguyên khi \( -2k - 1 \) chia hết cho \( 1 - k \).

Xét các giá trị nguyên của \( k \) sẽ cho các giá trị của \( a \).

Hy vọng phần giải thích trên giúp bạn hiểu rõ cách rút gọn và tìm giá trị nguyên cho biểu thức!