Để tìm số tự nhiên \( n \) thỏa mãn hai bất đẳng thức:

1. \( 4^{15} \cdot 9^{15} < 2^n \)
2. \( 3^n < 18^{16} \cdot 2^{16} \)

chúng ta sẽ giải từng bất đẳng thức một.

### Giải bất đẳng thức thứ nhất:
\[ 4^{15} = (2^2)^{15} = 2^{30} \]
\[ 9^{15} = (3^2)^{15} = 3^{30} \]

Vậy bất đẳng thức đầu tiên có thể viết lại như sau:
\[ 2^{30} \cdot 3^{30} < 2^n \]

Từ đó, ta sẽ có:
\[ 2^{30} \cdot 3^{30} < 2^n \\
3^{30} < 2^{n-30} \]

Lấy log cơ số 2 hai vế:
\[ \log_2(3^{30}) < n - 30 \\
30 \log_2(3) < n - 30 \\
n > 30 \log_2(3) + 30 \]

Tính giá trị \( \log_2(3) \) (khoảng 1.585):
\[ 30 \log_2(3) \approx 30 \cdot 1.585 = 47.55 \]

Do đó:
\[ n > 47.55 + 30 \\
n > 77.55 \]

Vì \( n \) là số tự nhiên, ta có:
\[ n \geq 78 \]

### Giải bất đẳng thức thứ hai:
Thay \( 18 \) vào, ta có:
\[ 18 = 2 \cdot 3^2 \Rightarrow 18^{16} = (2 \cdot 3^2)^{16} = 2^{16} \cdot 3^{32} \]

Vậy bất đẳng thức thứ hai trở thành:
\[ 3^n < 2^{16} \cdot 3^{32} \]

Chia cả hai vế cho \( 3^n \):
\[ 1 < 2^{16} \cdot 3^{32-n} \]

Lấy log cơ số 3 hai vế:
\[ 0 < 16 \log_3(2) + (32 - n) \\
n < 32 + 16 \log_3(2) \]

Tính giá trị \( \log_3(2) \) (khoảng 0.631):
\[ 16 \log_3(2) \approx 16 \cdot 0.631 = 10.096 \]

Vậy:
\[ n < 32 + 10.096 \\
n < 42.096 \]

Do đó:
\[ n \leq 42 \]

### Kết luận:
Từ hai bất đẳng thức, ta có:
1. \( n \geq 78 \)
2. \( n \leq 42 \)

Tuy nhiên, không có giá trị nào của \( n \) thỏa mãn cả hai điều kiện này. Do đó, không có số tự nhiên nào \( n \) thỏa mãn cả hai bất đẳng thức đã cho.