Cho góc nhọn a. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức C không phụ thuộc vào góc a

Để chứng minh rằng giá trị của biểu thức \( C \) không phụ thuộc vào góc \( a \), ta sẽ biến đổi biểu thức \( C \) như sau:

\[
C = \frac{\tan^2 a - \cos^2 a}{\sin^2 a} + \frac{\cot^2 a - \sin^2 a}{\cos^2 a}
\]

Nhớ rằng các định nghĩa cơ bản sau:

- \( \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} \)
- \( \cot a = \frac{\cos a}{\sin a} \)

Thay thế \( \tan^2 a \) và \( \cot^2 a \):

\[
C = \frac{\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} - \cos^2 a}{\sin^2 a} + \frac{\frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} - \sin^2 a}{\cos^2 a}
\]

Biến đổi từng phần:

1. Đối với phần đầu tiên:
\[
\frac{\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} - \cos^2 a}{\sin^2 a} = \frac{\sin^2 a - \cos^4 a}{\sin^2 a \cos^2 a}
\]

2. Đối với phần thứ hai:
\[
\frac{\frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} - \sin^2 a}{\cos^2 a} = \frac{\cos^2 a - \sin^4 a}{\sin^2 a \cos^2 a}
\]

Ghép lại, ta có:

\[
C = \frac{\sin^2 a - \cos^4 a + \cos^2 a - \sin^4 a}{\sin^2 a \cos^2 a}
\]

Sử dụng công thức \( \sin^4 a + \cos^4 a = 1 - 2\sin^2 a \cos^2 a \) hoặc \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \), nhận thấy rằng:

\[
\sin^4 a + \cos^4 a = (\sin^2 a + \cos^2 a)^2 - 2\sin^2 a \cos^2 a = 1 - 2\sin^2 a \cos^2 a
\]

Rút gọn biểu thức:

\[
C = \frac{1 - 2\sin^2 a \cos^2 a + \sin^2 a + \cos^2 a}{\sin^2 a \cos^2 a} = \frac{1 - 2\sin^2 a \cos^2 a + 1}{\sin^2 a \cos^2 a} = \frac{2 - 2\sin^2 a \cos^2 a}{\sin^2 a \cos^2 a}
\]

Cuối cùng, ta có:

\[
C = 2 \cdot \frac{1}{\sin^2 a \cos^2 a} - 2 = \frac{2}{\sin^2 a \cos^2 a}
\]

Vì vậy, biểu thức \( C \) chỉ phụ thuộc vào \( \sin^2 a \cos^2 a \), mà \( \sin^2 a \cos^2 a \) liên quan đến \( \sin(2a) \), chính vì thế \( C = 2 \) không phụ thuộc vào \( a \).

Từ đó, ta có thể kết luận rằng giá trị của biểu thức \( C \) là hằng số và không phụ thuộc vào góc \( a \).