Để xác định trọng lượng riêng của cúp và kiểm tra xem cúp có phải làm bằng vàng ròng hay không, ta cần thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Tính thể tích của cúp

Khi cúp được nhúng trong nước, theo định luật Archimede, lực đẩy Archimede (force of buoyancy) bằng trọng lượng của hơi nước mà cúp chiếm chỗ.

Trọng lượng riêng của nước là \( \rho_{water} = 10000 \, \text{N/m}^3 \).

Khối lượng cúp trong không khí là \( m_0 = 440 \, \text{g} = 0.44 \, \text{kg} \).

Khối lượng cúp trong nước (sau khi đã nhúng) là \( m_1 = 409 \, \text{g} = 0.409 \, \text{kg} \).

Khối lượng riêng của cúp sẽ được tính theo công thức trọng lượng riêng như sau:

### Bước 2: Tính lực đẩy Archimede

Lực đẩy Archimede \( F_A \) bằng trọng lượng của nước bị đẩy ra bởi cúp:

\[
F_A = m_0 - m_1 = 0.44 \, \text{kg} - 0.409 \, \text{kg} = 0.031 \, \text{kg}
\]

Trọng lượng nước bị đẩy ra bởi cúp là:

\[
F_A = \text{trọng lượng} = V \cdot \rho_{water} = m \cdot g
\]
Trong đó \( g \) là gia tốc trọng trường, xấp xỉ \( 9.81 \, \text{m/s}^2 \).

### Bước 3: Tính thể tích của cúp

Sử dụng định luật Archimede:

\[
F_A = V \cdot \rho_{water} \cdot g
\]

Với sức nặng của nước bị đẩy:

\[
0.031 \, \text{kg} \cdot g = V \cdot 10000 \, \text{N/m}^3
\]

Giải cho \( V \):
\[
V = \frac{0.031 \cdot 9.81}{10000} \approx 3.043 \times 10^{-3} \, \text{m}^3
\]

### Bước 4: Tính trọng lượng riêng của cúp

Trọng lượng riêng của cúp được xác định bằng công thức:

\[
\rho_{cup} = \frac{m_0 \cdot g}{V}
\]

Thay số vào:
\[
\rho_{cup} = \frac{0.44 \cdot 9.81}{3.043 \times 10^{-3}} \approx 143.2 \, \text{N/m}^3
\]

### Bước 5: So sánh với trọng lượng riêng của vàng ròng

Trọng lượng riêng của vàng ròng là \( 143000 \, \text{N/m}^3 \).

Vì trọng lượng riêng của cúp \( \rho_{cup} \approx 143.2 \, \text{N/m}^3 \) và nó nhỏ hơn trọng lượng riêng của vàng ròng \( 143000 \, \text{N/m}^3 \), nên cúp không phải là vàng ròng.

### Kết luận:

- Trọng lượng riêng của cúp xấp xỉ là 143.2 N/m³.
- Cúp không phải được làm bằng vàng ròng.