Để tìm số lượng giá trị nguyên của tham số \( m \) sao cho hàm số

\[
y = \frac{\sqrt{-x^2 + 2016x + 2017} - 24\sqrt{7}}{x - m}
\]

có tiệm cận đứng, ta cần tìm điều kiện để mẫu số \( x - m \) bằng 0, tức là \( x = m \). Đồng thời, để hàm số có tiệm cận đứng tại điểm này, tử số cũng phải bằng 0 tại \( x = m \).

Ta tìm khi nào tử số bằng 0:

\[
\sqrt{-m^2 + 2016m + 2017} - 24\sqrt{7} = 0
\]

Giải phương trình:

\[
\sqrt{-m^2 + 2016m + 2017} = 24\sqrt{7}
\]

Bình phương hai vế:

\[
-m^2 + 2016m + 2017 = 24^2 \cdot 7
\]

tính \( 24^2 \cdot 7 = 576 \cdot 7 = 4032 \):

\[
-m^2 + 2016m + 2017 = 4032
\]

Giải phương trình:

\[
-m^2 + 2016m + 2017 - 4032 = 0
\]

\[
-m^2 + 2016m - 2015 = 0
\]

Nhân hai vế với -1:

\[
m^2 - 2016m + 2015 = 0
\]

Áp dụng công thức nghiệm phương trình bậc 2:

\[
m = \frac{2016 \pm \sqrt{2016^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2015}}{2 \cdot 1}
\]

Tính định thức:

\[
2016^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2015 = 4064256 - 8060 = 4066196
\]

Tính căn bậc hai:

\[
\sqrt{4066196} = 2016
\]

Vậy ta có:

\[
m = \frac{2016 \pm 2016}{2}
\]

Hai nghiệm:

\[
m_1 = \frac{4032}{2} = 2016, \quad m_2 = \frac{0}{2} = 0
\]

Vậy có hai giá trị nguyên của \( m \) là \( 0 \) và \( 2016 \).

Do đó, đáp án là:

**A. 2**.