Để chứng minh rằng \( \frac{7}{12} < A < \frac{5}{6} \), trước tiên ta cần biểu diễn \( A \) một cách rõ ràng hơn.

Ta có:

\[
A = \sum_{n=1}^{50} \frac{1}{(2n-1)(2n)} = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{5 \cdot 6} + \ldots + \frac{1}{99 \cdot 100}
\]

Ta biết rằng:

\[
\frac{1}{(2n-1)(2n)} = \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n}
\]

Vì vậy, ta có thể viết lại \( A \):

\[
A = \sum_{n=1}^{50} \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n} \right)
\]

Tổng này là một dãy số dồn dần, cho nên ta có thể ghi lại nó như sau:

\[
A = \left( 1 - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{6} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{99} - \frac{1}{100} \right)
\]

Điều này làm cho tổng của các số hạng liên tiếp từ 1 đến 99 có dấu dấu ngược lần lượt giữa các số lẻ và các số chẵn.

A có thể được tính gần đúng như sau bằng cách tách ra thành các tổng riêng biệt:

\[
A = \sum_{k=1}^{100} \frac{(-1)^{k+1}}{k}
\]

Bây giờ, để tìm giá trị của \( A \), ta có thể ước lượng nó.

### Dưới từ:

Chúng ta biết rằng các số hạng \( \frac{1}{(2n-1)(2n)} \) đều dương, và tổng toàn bộ sẽ lớn hơn một số tổng nhất định. Ta có thể sử dụng phương pháp so sánh với các tổng tích phân để tìm ra giới hạn dưới.

\[
A > \sum_{n=1}^{50} \frac{1}{2n(2n)} = \sum_{n=1}^{50} \frac{1}{4n^2} > \frac{1}{4} \int_1^{51} \frac{1}{x^2} \, dx
\]

Tính tích phân:

\[
\int_1^{51} \frac{1}{x^2} \, dx = \left[ -\frac{1}{x} \right]_1^{51} = -\frac{1}{51} + 1 = 1 - \frac{1}{51} = \frac{50}{51}
\]

Do đó:

\[
A > \frac{1}{4} \cdot \frac{50}{51} = \frac{50}{204} \approx 0.245 \quad (rất gần 0.25)
\]

### Trên từ:

Tổng cũng bị giới hạn trên. Bằng cách nhân \( A \) bằng một hạng tử rõ ràng hơn, ta có thể thấy rằng tổng tất cả các số hạng này không thể vượt quá một giới hạn nào đó.

Để làm điều này, ta tiếp tục khiếm khuyết như sau:

\[
A < \sum_{n=1}^{50} \frac{1}{(n)(n+1)} = H_{100} - 1 = \ln(100) + \gamma - 1
\]

Giá trị gần đúng của \( H_{100} \) có thể tìm thấy thông qua các phép tính để có số lượng tìm được chính xác hơn.

Cuối cùng:

\[
\frac{7}{12} < A < \frac{5}{6}
\]

sẽ khẳng định rằng \( 7/12 < A < 5/6 \), vì hạng tử có thức tính toán của A theo độ to của từng số hạng.