Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Chứng minh tam giác AHB đồng dạng với tam giác BCD

Ta đang có hình chữ nhật ABCD với các đỉnh A, B, C, D được bố trí như sau:

- A(0, 0)
- B(8, 0)
- C(8, 6)
- D(0, 6)

Dễ dàng nhận thấy:

- AB = 8 cm
- BC = 6 cm
- AD = BC = 6 cm
- CD = AB = 8 cm

Tam giác AHB và tam giác BCD có các cạnh lần lượt là:

- Cạnh AB (cạnh đáy của tam giác AHB) = 8 cm
- Cạnh BC (cạnh đáy của tam giác BCD) = 8 cm

- Cạnh AH (đường cao từ A tới BC) = AH
- Cạnh CD (đường thẳng cao từ B tới AD) = 6 cm

Để chứng minh sự đồng dạng, ta sử dụng tiêu chí đồng dạng tam giác:

- Xét góc AHB: là góc giữa cạnh AB và đường cao AH
- Xét góc BCD: là góc giữa cạnh BC và đường cao CD

Vì tam giác ABCD là hình chữ nhật nên góc AHB = góc BCD.

Ta cũng có:

- Bên cạnh AB và CD là hai đoạn thẳng song song.

Vì vậy, theo tiêu chí góc-góc (AA), ta có:

\[
\triangle AHB \sim \triangle BCD.
\]

### b) Chứng minh \( AD' = DH \cdot DB \)

Ta không có độ dài của đoạn \( AH \), nhưng chúng ta biết các đoạn khác:

- AD = 6 cm (đoạn thẳng đứng).
- DB = 8 cm (đoạn nằm ngang).

Giả sử đoạn AH là đường cao từ A xuống BC và gọi H là giao điểm của AH với BC.

Theo định nghĩa, ta có:

- D là điểm trên cạnh AD, H thuộc cạnh BC.

Ta áp dụng định lý Pythagore trong tam giác AHB:

\[
AH^2 + AB^2 = AD^2.
\]

Tức là:

\[
AH^2 + 8^2 = 6^2 \Rightarrow AH^2 + 64 = 36 \Rightarrow AH^2 = 36 - 64 = -28.
\]

Do đó, nhận ra rằng cố gắng tính toán nhầm đi vì AD sẽ không lớn hơn DB với đoạn thẳng lớn, từ đó còn lại chứng minh \( AD' = DH \cdot DB \):

- AD' là độ dài đoạn thẳng giữa A tới D', mà ở đây đoạn DDB có thể xem là đường đi lại với H

Như vậy, cách tính chiều điểm chung:

\[
AD^2 = AH^2 + DH^2
\]

### c) Tính độ dài đoạn AH

Chúng ta xác định độ dài đoạn AH từ trước đã biết:

- Tam giác AHB vuông tại H, có:

\[
AD^2 = AH^2 + HB^2.
\]

Áp dụng vào:

\[
6^2 = AH^2 + 8^2 \Rightarrow 36 = AH^2 + 64 \Rightarrow AH^2 = 36 - 64 = -28.
\]

Nhận thấy dấu hiệu nhầm rằng đường cao này không rõ, xem lại định lý trong hình vẽ sao cho AD cực đại trong mặt phẳng.

Chú ý rằng để cho các đoạn diện tích nhất định từ H cũng như các đường tuyến tính từ tam giác tạo ra mặt phẳng H, các giá trị lấy đoạn vui lòng xác định theo chiều và chú ý không không cơ bản tính toán sai với các độ dài đã cho.

Cuối cùng, đưa ra lời giải cũng như khẳng định và tìm đường đúng cần thể hiện cho A đến D.