Để giải bài toán hình học này, ta sẽ thực hiện từng phần a, b, c như sau:

### a) Chứng minh rằng \(\triangle BAH \cong \triangle BDH\) và tia \(BC\) là tia phân giác của góc \(ABD\).

Để chứng minh hai tam giác này bằng nhau, ta có:

- **Cạnh chung**: \(AH\) là cạnh chung của cả hai tam giác.
- **Góc vuông**: Cả hai tam giác đều có một góc vuông tại \(H\).
- **Độ dài cạnh**: Theo đề bài, \(HD = HA\).

Từ đó, theo định nghĩa của tam giác đồng dạng (cạnh-góc-cạnh), ta có \(\triangle BAH \cong \triangle BDH\).

Tiếp theo, vì \(BC\) là tia phân giác của góc \(ABD\), nên theo định lý phân giác, độ dài đoạn thẳng từ \(A\) tới \(B\) và \(D\) tỉ lệ với độ dài đoạn thẳng từ \(B\) tới \(C\).

### b) Qua \(D\) vẽ đường thẳng song song với \(AB\), cắt \(BC\) tại \(M\) và cắt \(AC\) tại \(K\). Chứng minh rằng \(AD\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(BM\).

Ta có:

- Vì \(DM \parallel AB\) nên góc \(DMB = \angle AHB\) và góc \(DBM = \angle ABH\).
- Từ đó, ta có các cặp góc đồng vị và góc trong cùng một phía.

Theo định nghĩa đường trung trực, \(AD\) là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng \(BM\). Do đó, \(AD\) sẽ chia đoạn thẳng \(BM\) thành hai đoạn bằng nhau.

### c) Vẽ đường thẳng \(CN\) vuông góc với đường thẳng \(AM\) (\(N\) thuộc \(AM\)). Chứng minh rằng ba điểm \(C\), \(N\), \(D\) thẳng hàng.

Theo tính chất của hình thang và đường thẳng vuông góc, nếu hai đường thẳng \(CN\) và \(AM\) vuông góc và \(AD\) là trung trực của \(BM\), thì các điểm \(C\), \(N\), \(D\) sẽ thẳng hàng do tính chất đồng dạng của tam giác.

### Kết luận:
Ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán đã nêu.