Để phân tích hàm số \( y = \frac{x^2 - x + 1}{x - 1} \) và xác định các yêu cầu của bài toán, ta sẽ tiến hành từng phần:

### a) Đường thẳng \( x = 1 \) là tiệm cận đứng của đồ thị (C).
Hàm số không xác định tại \( x = 1 \). Ta cần xem xét giới hạn khi \( x \) tiến gần \( 1 \):

\[
\lim_{x \to 1} y = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - x + 1}{x - 1}.
\]

Làm thế nào ta sẽ thực hiện phép tính giới hạn bằng cách sử dụng quy tắc L'Hôpital do biểu thức có dạng \( \frac{0}{0} \):

\[
\frac{d}{dx}(x^2 - x + 1) = 2x - 1,
\]
\[
\frac{d}{dx}(x - 1) = 1.
\]

Áp dụng quy tắc L'Hôpital:

\[
\lim_{x \to 1} \frac{2x - 1}{1} = \frac{2 \cdot 1 - 1}{1} = 1.
\]

Vì giới hạn này không tồn tại tại \( x = 1 \) (hàm số đi đến vô cùng dương hoặc âm), ta khẳng định rằng đường thẳng \( x = 1 \) là tiệm cận đứng.

### b) \( \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = -1 \).
Ta tính giới hạn:

\[
\lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{x^2 - x + 1}{x - 1}}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - x + 1}{x^2 - x}.
\]

Sử dụng tính chất giới hạn của các bậc cao nhất:

\[
\lim_{x \to +\infty} \frac{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 - \frac{1}{x}} = \frac{1 - 0 + 0}{1 - 0} = 1.
\]

### c) \( \lim_{x \to +\infty} (f(x) - x) = 1 \).
Ta có:

\[
f(x) - x = \frac{x^2 - x + 1}{x - 1} - x.
\]

Đưa về cùng mẫu:

\[
= \frac{x^2 - x + 1 - x(x - 1)}{x - 1} = \frac{x^2 - x + 1 - (x^2 - x)}{x - 1} = \frac{1}{x - 1}.
\]

Tính giới hạn:

\[
\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x - 1} = 0.
\]

### d) Đường thẳng \( y = x \) là tiệm cận xiên của đồ thị (C).
Ta đã tính ở phần c) rằng:

\[
\lim_{x \to +\infty} (f(x) - x) = 1.
\]

Điều này cho thấy rằng đồ thị có tiệm cận xiên \( y = x + 1 \).

Tóm lại, các yếu tố đã phân tích thì:

- a) Đúng: \( x = 1 \) là tiệm cận đứng.
- b) Sai: \( \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 1 \).
- c) Sai: \( \lim_{x \to +\infty} (f(x) - x) = 0 \).
- d) Đường thẳng \( y = x + 1 \) là tiệm cận xiên, không phải \( y = x \).

Hãy kiểm tra và kết luận lại về các phần b) và c) nếu cần thiết.