Để giải bài toán về tam giác đều và các đường vuông góc, ta sẽ thực hiện từng yêu cầu một cách có hệ thống.

**Giả sử:**
- Tam giác \( ABC \) có \( AB = AC \).
- Gọi \( D \) là điểm giao của hai đường thẳng vuông góc từ \( B \) và \( C \) đến các cạnh \( AB \) và \( AC \).

### a) Chứng minh tam giác \( ABD \cong ACD \)

Để chứng minh hai tam giác \( ABD \) và \( ACD \) là bằng nhau, ta sẽ áp dụng tiêu chuẩn về cạnh-góc-cạnh (CGC).

1. \( AB = AC \) (giả thiết).
2. Góc \( ADB = ACD = 90^\circ \) (bởi vì \( BD \) vuông góc với \( AB \) và \( CD \) vuông góc với \( AC \)).
3. Ta cần chứng minh thêm rằng \( AD = AD \) (Đoạn này hiển nhiên).

Vậy theo tiêu chuẩn CGC:
\[
\triangle ABD \cong \triangle ACD
\]

### b) Chứng minh \( AD \) là tia phân giác góc \( A \)

Để chứng minh \( AD \) là tia phân giác của góc \( A \), ta sẽ chứng minh rằng \( \angle ABD = \angle ACD \).

1. Từ kết quả ở phần (a), ta có \( \triangle ABD \cong \triangle ACD \).
2. Từ tính chất của tam giác đồng dạng, ta có:
\[
\angle ABD = \angle ACD
\]

Do đó, \( AD \) chính là tia phân giác của góc \( A \).

### c) Chứng minh \( AD \) là trung trực của \( BC \)

Để chứng minh \( AD \) là trung trực của đoạn thẳng \( BC \), ta cần chứng minh \( BD = CD \) và \( AD \) vuông góc với \( BC \).

1. Từ phần (a), ta có \( \triangle ABD \cong \triangle ACD \), do đó \( BD = CD \).
2. Bởi vì \( BD \) vuông góc với \( AB \) và \( CD \) vuông góc với \( AC \), và do tính chất của tam giác cân \( ABC \), \( AD \) cũng vuông góc với \( BC \).

Vậy, \( AD \) là trung trực của \( BC \).

### Kết luận

Chúng ta đã chứng minh rằng:
- \( \triangle ABD \cong \triangle ACD \).
- \( AD \) là tia phân giác của góc \( A \).
- \( AD \) là trung trực của đoạn \( BC \).

Điều này hoàn toàn phù hợp với các đặc điểm của tam giác cân và các đường thẳng vuông góc trong tam giác.