Để tìm hệ số \( a \) của đa thức \( M(x) = ax^2 + 5x - 3 \) biết rằng nó có một nghiệm là \( \frac{1}{2} \), ta sẽ thay \( x = \frac{1}{2} \) vào đa thức và đặt nó bằng 0.

Giải theo các bước sau:

1. Thay \( x = \frac{1}{2} \) vào \( M(x) \):

\[
M\left(\frac{1}{2}\right) = a\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 5\left(\frac{1}{2}\right) - 3
\]

2. Tính toán:

\[
= a\left(\frac{1}{4}\right) + \frac{5}{2} - 3
\]

3. Đơn giản hóa:

\[
= \frac{a}{4} + \frac{5}{2} - 3
\]
\[
= \frac{a}{4} + \frac{5}{2} - \frac{6}{2}
\]
\[
= \frac{a}{4} - \frac{1}{2}
\]

4. Đặt \( M\left(\frac{1}{2}\right) = 0 \):

\[
\frac{a}{4} - \frac{1}{2} = 0
\]

5. Giải phương trình:

\[
\frac{a}{4} = \frac{1}{2}
\]

6. Nhân cả hai vế với 4:

\[
a = 2
\]

Như vậy, hệ số \( a \) là \( 2 \).